センター試験 数学II・数学B 2018年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を $0\lt a \lt 1$ を満たす定数とする。三角形 ABC を考え、辺 AB を $1:3$ に内分する点を D, 辺 BC を $a:(1-a)$ に内分する点を E, 直線 AE と直線 CD の交点を F とする。 $\overrightarrow{ \mathrm{ FA } }=\vec{p}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FB } }=\vec{q}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FC } }=\vec{r}$ とおく。

(1) $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }=\myBox{ア}$ であり\[ |\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2 =|\vec{p}|^2-\myBox{イ}\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \quad \cdots ① \]である、ただし、 $\myBox{ア}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $\vec{p}+\vec{q}$
 1: $\vec{p}-\vec{q}$
 2: $\vec{q}-\vec{p}$
 3: $-\vec{p}-\vec{q}$

(2) $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表すと\[ \overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}} \vec{p} +\frac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \vec{q} \quad \cdots ② \]である。

(3) s, t をそれぞれ $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=t\vec{p}$ となる実数とする。 sta を用いて表そう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$ であるから、②により\[ \vec{q}=\myBox{キク}\vec{p}+\myBox{ケ}s\vec{r} \quad \cdots ③ \]である。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=t\vec{p}$ であるから\[ \vec{q}=\frac{t}{\myBox{コ}-\myBox{サ}}\vec{p} -\frac{\myBox{シ}}{\mybox{コ}-\mybox{サ}}\vec{r} \quad \cdots ④ \]である。③と④により
\begin{eqnarray}
s &=& \frac{\myBox{スセ}}{\myBox{ソ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)} \\[5pt] t &=& \myBox{タチ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)
\end{eqnarray}である。

(4) $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|$ とする。 $|\vec{p}|=1$ のとき、 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の内積を a を用いて表そう。

 ①により\[ |\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2=1-\mybox{イ}\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 \]である。また
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|^2
&=&
\myBox{ツ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)^2 \\[5pt] & &
+\myBox{テ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \\[5pt] \end{eqnarray}である。したがって\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=\frac{\myBox{トナ}-\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}} \]である。

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(2021年09月 時点の情報です)

考え方

内分点やベクトルの絶対値、内積などについて、幅広く出題されています。また、(3)は交点を2通りで求めて係数比較、というよくある流れです。

計算が少しごちゃごちゃするところはありますが、標準的な計算量でしょう。問題の見た目ほど、大変ではありません。

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