センター試験 数学II・数学B 2018年度 第2問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$関数 $f(x)$ は $x\geqq 1$ の範囲でつねに $f(x)\leqq 0$ を満たするとする。 $t\gt 1$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と x 軸および2直線 $x=1$, $x=t$ で囲まれた図形の面積を W とする。 t が $t\gt 1$ の範囲を動くとき、 W は、底辺の長さが $2t^2-2$ 、他の2辺の長さがそれぞれ $t^2+1$ の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、 $x\gt 1$ における $f(x)$ を求めよう。

 $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分とする。一般に、 $F'(x)=\myBox{ツ}$, $W=\myBox{テ}$ が成り立つ。 $\myBox{ツ}$, $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $-F(t)$
 1: $F(t)$
 2: $F(t)-F(1)$

 3: $F(t)+F(1)$
 4: $-F(t)+F(1)$
 5: $-F(t)-F(1)$

 6: $-f(x)$
 7: $f(x)$
 8: $f(x)-f(1)$

 したがって、 $t\gt 1$ において\[ f(t)=\myBox{トナ}t^{\myBox{ニ}}+\myBox{ヌ} \]である。よって、 $x\gt 1$ における $f(x)$ がわかる。

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考え方

前半は、不定積分の定義、積分と面積の関係を問う問題で、基本事項がわかっているかどうかを確認するためのものです。

後半は、W を具体的に求めて、ツ、テの式をどう使うかを考えれば、それほど難しくはないでしょう。計算もほとんどありません。

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