センター試験数学II・数学B 2018年度第3問解説

🕒 2018/01/15 🔄 2023/05/01

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　第4項が $30$ 、初項から第8項までの和が $288$ である等差数列を $\{a_n\}$ とし、 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とする。また、第2項が $36$ 、初項から第3項までの和が $156$ である等比数列で公比が $1$ より大きいものを $\{b_n\}$ とし、 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $T_n$ とする。

(1) $\{a_n\}$ の初項は $\myBox{アイ}$ 、公差は $\myBox{ウエ}$ であり、\[ S_n=\myBox{オ}n^2 -\myBox{カキ}n \]である。

(2) $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{クケ}$ 、公比は $\myBox{コ}$ であり、\[ T_n=\myBox{サ} \left(\myBox{シ}^n-\myBox{ス}\right) \]である。

(3) 数列 $\{ c_n \}$ を次のように定義する。
\begin{eqnarray} c_n &=& \sum_{k=1}^n (n-k+1)(a_n-b_n) \\[5pt] &=& n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n) \\[5pt] & & (n=1,2,3,\cdots ) \end{eqnarray}たとえば \begin{eqnarray} c_1 &=& a_1-b_1 \\[5pt] c_2 &=& 2(a_1-b_1)+(a_2-b_2) \\[5pt] c_3 &=& 3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3) \\[5pt] \end{eqnarray}である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよう。
　$\{c_n\}$ の階差数列を $\{d_n\}$ とする。 $d_n=c_{n+1}-c_n$ であるから、 $d_n=\myBox{セ}$ を満たす。 $\myBox{セ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。

　0: $S_n+T_n$
　1: $S_n-T_n$

　2: $-S_n+T_n$
　3: $-S_n-T_n$

　4: $S_{n+1}+T_{n+1}$
　5: $S_{n+1}-T_{n+1}$

　6: $-S_{n+1}+T_{n+1}$
　7: $-S_{n+1}-T_{n+1}$

　したがって、(1)と(2)より\[ d_n=\myBox{ソ}n^2 -2\cdot \myBox{タ} ^{n+\myBox{チ} } \]である。 $c_1=\myBox{ツテト}$ であるから、 $\{c_n\}$ の一般項は\[ c_n=\myBox{ナ}n^2 -\myBox{ニ}n^2+n+\myBox{ヌ}-\mybox{タ}^{n+\myBox{ネ} } \]である。

考え方

(1)(2)でもわりと計算が面倒ですが、(3)はそれを上回るしんどさです。

セは、難しいですが、各 $(a_i-b_i)$ が何回足されるかを考えれば、わかりやすいかもしれません。ここは、少しズルいですが、 $n=1$ の場合を考えて、選択肢から選んでしまう、とやってしまってもいいかもしれません。

後半は、 n なのか、 $n+1$ なのか、 $n-1$ なのか、どれを扱っているかに注意しながら計算しましょう。計算量が多く、煩雑なので、かなり大変です。

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

解答編

問題

　第4項が $30$ 、初項から第8項までの和が $288$ である等差数列を $\{a_n\}$ とし、 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とする。また、第2項が $36$ 、初項から第3項までの和が $156$ である等比数列で公比が $1$ より大きいものを $\{b_n\}$ とし、 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $T_n$ とする。

(1) $\{a_n\}$ の初項は $\myBox{アイ}$ 、公差は $\myBox{ウエ}$ であり、\[ S_n=\myBox{オ}n^2 -\myBox{カキ}n \]である。

解説

$\{a_n\}$ の初項を a, 公差を d とすると、第4項は $a+3d$ なので、\[ a+3d=30 \]です。

また、初項から第8項までの和は、\[ \frac{1}{2}(a+a+7d)\times 8=8a+28d \]なので、\[ 8a+28d=288 \]が成り立ちます。

よって
\begin{eqnarray} 8(30-3d)+28d &=& 288 \\[5pt] 240-24d+28d &=& 288 \\[5pt] 4d &=& 48 \\[5pt] d &=& 12 \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} a=30-3d=30-36=-6 \end{eqnarray}となります。

以上から、一般項は\[ a_n=-6+12(n-1)=12n-18 \]なので、
\begin{eqnarray} S_n &=& 12\times \frac{1}{2}n(n+1) -18n \\[5pt] &=& 6n^2+6n -18n \\[5pt] &=& 6n^2-12n \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイ：-6
ウエ：12
オカキ：612

解答編つづき

問題

(2) $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{クケ}$ 、公比は $\myBox{コ}$ であり、\[ T_n=\myBox{サ} \left(\myBox{シ}^n-\myBox{ス}\right) \]である。

解説

$\{b_n\}$ の初項を b, 公比を r とすると、第2項の条件から
\begin{eqnarray} br=36 \end{eqnarray}が得られます。また、初項から第3項までの和についての条件から \begin{eqnarray} b+br+br^2 &=& 156 \\[5pt] b+36+36r &=& 156 \\[5pt] b &=& 120-36r \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。これを $br=36$ に代入すると \begin{eqnarray} (120-36r)r &=& 36 \\[5pt] -36r^2 +120r -36 &=& 0 \\[5pt] 3r^2 -10r +3 &=& 0 \\[5pt] (3r-1)(r-3) &=& 0 \\[5pt] r &=& 3,\frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。 $r\gt 1$ なので、 $r=3$ であり、 $br=36$ から $b=12$ が得られます。

以上より、 $b_n=12\times 3^{n-1}=4\times 3^n$ だから、
\begin{eqnarray} T_n &=& \frac{12(3^n-1)}{3-1} \\[5pt] &=& 6(3^n-1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

クケ：12
コ：3
サシス：631

解答編つづき

問題

(3) 数列 $\{ c_n \}$ を次のように定義する。
\begin{eqnarray} c_n &=& \sum_{k=1}^n (n-k+1)(a_n-b_n) \\[5pt] &=& n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n) \\[5pt] & & (n=1,2,3,\cdots ) \end{eqnarray}たとえば \begin{eqnarray} c_1 &=& a_1-b_1 \\[5pt] c_2 &=& 2(a_1-b_1)+(a_2-b_2) \\[5pt] c_3 &=& 3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3) \\[5pt] \end{eqnarray}である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよう。
　$\{c_n\}$ の階差数列を $\{d_n\}$ とする。 $d_n=c_{n+1}-c_n$ であるから、 $d_n=\myBox{セ}$ を満たす。 $\myBox{セ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 7 のうちから一つ選べ。

　0: $S_n+T_n$
　1: $S_n-T_n$

　2: $-S_n+T_n$
　3: $-S_n-T_n$

　4: $S_{n+1}+T_{n+1}$
　5: $S_{n+1}-T_{n+1}$

　6: $-S_{n+1}+T_{n+1}$
　7: $-S_{n+1}-T_{n+1}$

解説

$d_n=c_{n+1}-c_n$ の右辺を計算したときに、 $(a_1-b_1)$ が何回足されるかを考えてみましょう。

$c_n$ の定義を見れば、 $c_{n+1}$ では、 $(a_1-b_1)$ が $n+1$ 回出てきて、 $c_n$ では $n$ 回出てきます。そのため、 $d_n=c_{n+1}-c_n$ を計算すると、 $(a_1-b_1)$ は1回出てくることがわかります。

同様に、 $(a_2-b_2)$ も $n$ 個から $n-1$ 個引かれて、1回出ることがわかります。同じように考えれば、 $(a_i-b_i)$ が1回ずつ出てくることになります。

最後は、 $c_{n+1}$ の最後の部分が $a_{n+1}-b_{n+1}$ になることから、 $a_{n+1}-b_{n+1}$ までであることがわかります。

結局、 $d_n=c_{n+1}-c_n$ を計算すると、 $(a_1-b_1)$ から $(a_{n+1}-b_{n+1})$ までの和を求めることになるので、 $d_n=S_{n+1}-T_{n+1}$ となります。

なお、選択肢から選ぶだけであれば、 $n=1$ のときを考え、\[ d_1=a_1+a_2-b_1-b_2 \]となることから推測するという技もあります。数学的にはオススメしませんが、検算では使えるでしょう。

解答

セ：5

解答編つづき

問題

　したがって、(1)と(2)より\[ d_n=\myBox{ソ}n^2 -2\cdot \myBox{タ} ^{n+\myBox{チ} } \]である。 $c_1=\myBox{ツテト}$ であるから、 $\{c_n\}$ の一般項は\[ c_n=\myBox{ナ}n^2 -\myBox{ニ}n^2+n+\myBox{ヌ}-\mybox{タ}^{n+\myBox{ネ} } \]である。

解説

$d_n=S_{n+1}-T_{n+1}$ なので、(1)(2)で、 n を $n+1$ に置き換えて
\begin{eqnarray} d_n &=& S_{n+1}-T_{n+1} \\[5pt] &=& 6(n+1)^2-12(n+1) -6(3^{n+1}-1) \\[5pt] &=& 6n^2+12n+6-12n-12 -6\cdot 3^{n+1} +6 \\[5pt] &=& 6n^2 -2\cdot 3^{n+2} \\[5pt] \end{eqnarray}と計算できます。

また、
\begin{eqnarray} c_1 &=& a_1-b_1 \\[5pt] &=& -6-12 \\[5pt] &=& -18 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$\{c_n\}$ の一般項は、 $n\geqq 2$ のときは、 $c_1$ に $d_1$ から $d_{n-1}$ までを足したものなので、
\begin{eqnarray} c_n &=& -18 +6\times\frac{1}{6} (n-1)n(2n-1) -2\times \frac{27(3^{n-1}-1)}{3-1} \\[5pt] &=& -18 +2n^3-3n^2+n -27\cdot 3^{n-1} +27 \\[5pt] &=& 2n^3 -3n^2 +n +9 -3^{n+2} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。なお、 $n=1$ のときは、この計算式は $-18$ となるので、これが $\{c_n\}$ の一般項であることがわかります。