センター試験 数学II・数学B 2018年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

(1) 1ラジアンとは、 $\myBox{ア}$ のことである。 $\myBox{ア}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: 半径が $1$ 、面積が $1$ の扇形の中心角の大きさ
　1: 半径が $\pi$ 、面積が $1$ の扇形の中心角の大きさ
　2: 半径が $1$ 、弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ
　3: 半径が $\pi$ 、弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ

(2) $144^{\circ}$ を弧度で表すと $\dfrac{\myBox{イ} }{\myBox{ウ} }\pi$ ラジアンである。また、 $\dfrac{23}{12}\pi$ ラジアンを度で表すと $\myBox{エオカ}^{\circ}$ である。

(3) $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で\[ 2\sin\left( \theta+\frac{\pi}{5}\right) -2\cos\left( \theta+\frac{\pi}{30}\right)=1 \quad \cdots ① \]を満たす $\theta$ の値を求めよう。

　$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと、①は\[ 2\sin x-2\cos\left( x-\frac{\pi}{\myBox{キ} } \right)=1 \]と表せる。加法定理を用いると、この式は\[ \sin x-\sqrt{\myBox{ク} }\cos x=1 \] となる。さらに、三角関数の合成を用いると\[ \sin\left(x-\frac{\pi}{\myBox{ケ} }\right)=\frac{1}{\myBox{コ} } \]と変形できる。 $x=\theta +\dfrac{\pi}{5}$, $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ だから、 $\theta=\dfrac{\myBox{サシ} }{\myBox{スセ} }\pi$ である。

考え方

ラジアンの定義で調子が狂った人が多いと思います。360度と $2\pi$ の関係から考えれば思いつきやすいかもしれません。

(3)は誘導にのって変形していくだけです。使うものが指定されているし、どこが変化しているかもわかりやすいので、計算がきちんとできれば問題はないでしょう。計算量も、それほど多いわけではありません。

【必答問題】

解答編

問題

　(1) 1ラジアンとは、 $\myBox{ア}$ のことである。 $\myBox{ア}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: 半径が $1$ 、面積が $1$ の扇形の中心角の大きさ
　1: 半径が $\pi$ 、面積が $1$ の扇形の中心角の大きさ
　2: 半径が $1$ 、弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ
　3: 半径が $\pi$ 、弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ

解説

不意打ちですが、弧度法に関する定義ですね。

三角関数の学習のはじめに出てくるのですが、弧度法では、360度のことを $2\pi$ で表します。普段はわざわざ「ラジアン」をつけずに呼びますが、厳密には「 $2\pi$ ラジアン」です。

$2\pi$ は半径 $1$ の円の円周とも一致するので、 $1$ ラジアンは、半径 $1$ で弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさとなります。

解答

ア：2

解答編 つづき

問題

(2) $144^{\circ}$ を弧度で表すと $\dfrac{\myBox{イ} }{\myBox{ウ} }\pi$ ラジアンである。また、 $\dfrac{23}{12}\pi$ ラジアンを度で表すと $\myBox{エオカ}^{\circ}$ である。

解説

360度が $2\pi$ に対応するので、$144^{\circ}$ は\[ 144 \times \frac{2\pi}{360}=\frac{4}{5}\pi \]となります。

また、 $\dfrac{23}{12}\pi$ は、\[ \dfrac{23}{12}\pi \times \frac{360}{2\pi}=23\times 15=345 \]だから、 $345^{\circ}$ となります。

解答

イウ：45
エオカ：345

解答編 つづき

問題

(3) $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で\[ 2\sin\left( \theta+\frac{\pi}{5}\right) -2\cos\left( \theta+\frac{\pi}{30}\right)=1 \quad \cdots ① \]を満たす $\theta$ の値を求めよう。

　$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと、①は\[ 2\sin x-2\cos\left( x-\frac{\pi}{\myBox{キ} } \right)=1 \]と表せる。加法定理を用いると、この式は\[ \sin x-\sqrt{\myBox{ク} }\cos x=1 \] となる。さらに、三角関数の合成を用いると\[ \sin\left(x-\frac{\pi}{\myBox{ケ} }\right)=\frac{1}{\myBox{コ} } \]と変形できる。 $x=\theta +\dfrac{\pi}{5}$, $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ だから、 $\theta=\dfrac{\myBox{サシ} }{\myBox{スセ} }\pi$ である。

解説

$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと、$\theta=x-\dfrac{\pi}{5}$ なので、
\begin{eqnarray} \cos\left( \theta+\frac{\pi}{30}\right) &=& \cos\left( x-\dfrac{\pi}{5}+\frac{\pi}{30}\right) \\[5pt] &=& \cos\left( x-\dfrac{\pi}{6}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。この部分に対して加法定理を使うと \begin{eqnarray} \cos\left( x-\dfrac{\pi}{6}\right) &=& \cos x \cos \dfrac{\pi}{6}+\sin x \sin \dfrac{\pi}{6} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{3}\cos x}{2} +\frac{\sin x}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、①の左辺は \begin{eqnarray} & & 2\sin x-2\cos\left( x-\frac{\pi}{6} \right) \\[5pt] &=& 2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sin x \\[5pt] &=& \sin x-\sqrt{3}\cos x \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

さらに三角関数の合成を使えば、①は
\begin{eqnarray} \sin x-\sqrt{3}\cos x &=& 1 \\[5pt] 2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3} }{2}\cos x \right) &=& 1 \\[5pt] \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right) &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。

$x=\theta +\dfrac{\pi}{5}$, $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ だから、
\begin{eqnarray} & \dfrac{7}{10}\pi \leqq x \leqq \frac{6}{5}\pi \\[5pt] & \dfrac{11}{30}\pi \leqq x-\frac{\pi}{3} \leqq \frac{13}{15}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}なので、この範囲で\[\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\] を満たすものは\[ x-\frac{\pi}{3}=\frac{5}{6}\pi \]となります。よって、 $x=\dfrac{7}{6}\pi$ だから
\[ \theta=\frac{7}{6}\pi-\frac{\pi}{5}=\frac{29}{30}\pi \]となります。

解答