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センター試験 数学II・数学B 2017年度 第4問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 座標平面上に点 $\mathrm{ A }(2,0)$ をとり、原点 O を中心とする半径が 2 の円周上に点 B, C, D, E, F を、点 A, B, C, D, E, F が順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、 B は第1象限にあるとする。

(1) 点 B の座標は $(\myBox{ア},\sqrt{\myBox{イ}})$ 、点 D の座標は $(-\myBox{ウ},0)$ である。

(2) 線分 BD の中点を M とし、直線 AM と直線 CD の交点を N とする。 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ を求めよう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ は実数 r, s を用いて、 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+r\overrightarrow{ \mathrm{ AM } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OD } }+s\overrightarrow{ \mathrm{ DC } }$ と2通りに表すことができる。ここで
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ AM } } &=& \left(-\frac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}, \frac{\sqrt{\myBox{カ}} }{\myBox{キ}}\right) \\[5pt] \overrightarrow{ \mathrm{ DC } } &=& \left(\myBox{ク}, \sqrt{\myBox{ケ}}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}であるから\[ r=\frac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}, \ s=\frac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}} \]である。よって\[ \overrightarrow{ \mathrm{ ON } } = \left(-\frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}, \frac{\myBox{タ}\sqrt{\myBox{チ}} }{\myBox{ツ}}\right) \]である。

(3) 線分 BF 上に点 P をとり、その y 座標を a とする。点 P から直線 CE に引いた垂線と、点 C から直線 EP に引いた垂線との交点を H とする。
 $\overrightarrow{ \mathrm{ EP } }$ が\[ \overrightarrow{ \mathrm{ EP } } = (\myBox{テ}, \myBox{ト}+\sqrt{\myBox{ナ}}) \]と表せることにより、 H の座標を a を用いて表すと\[ \left(\frac{\myBox{ニ}a^{\myBox{ヌ}}+\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}, \myBox{ハ}\right) \]である。
 さらに、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }$ のなす角を $\theta$ とする。 $\displaystyle \cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき、 a の値は\[ a=\pm \frac{\myBox{ヒ}}{\myBox{フヘ}} \]である。

考え方

各点の座標がきれいに求められるので、成分を使ってベクトルを考えていきます。(2)のように、2通りに表してベクトルを求める方法はよく出題されます。

後半は内積を用いた計算です。計算は少し煩雑ですが、最終的には計算しやすい式が出てくるので、根気よく計算しましょう。


解答編

問題

 座標平面上に点 $\mathrm{ A }(2,0)$ をとり、原点 O を中心とする半径が 2 の円周上に点 B, C, D, E, F を、点 A, B, C, D, E, F が順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、 B は第1象限にあるとする。

(1) 点 B の座標は $(\myBox{ア},\sqrt{\myBox{イ}})$ 、点 D の座標は $(-\myBox{ウ},0)$ である。

解説

図は次のようになります。

三角形 OAB は正三角形なので、点 B の座標は $(1,\sqrt{3})$ となります。また、点 D の座標は $(-2,0)$ となります。

解答

アイ:13
ウ:2

解答編 つづき

問題

(2) 線分 BD の中点を M とし、直線 AM と直線 CD の交点を N とする。 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ を求めよう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ は実数 r, s を用いて、 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+r\overrightarrow{ \mathrm{ AM } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OD } }+s\overrightarrow{ \mathrm{ DC } }$ と2通りに表すことができる。ここで
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ AM } } &=& \left(-\frac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}, \frac{\sqrt{\myBox{カ}} }{\myBox{キ}}\right) \\[5pt] \overrightarrow{ \mathrm{ DC } } &=& \left(\myBox{ク}, \sqrt{\myBox{ケ}}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}であるから\[ r=\frac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}, \ s=\frac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}} \]である。よって\[ \overrightarrow{ \mathrm{ ON } } = \left(-\frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}, \frac{\myBox{タ}\sqrt{\myBox{チ}} }{\myBox{ツ}}\right) \]である。

解説

図は次のようになっています。

\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ AM } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ OM } } -\overrightarrow{ \mathrm{ OA } } \\[5pt] &=& \frac{ \overrightarrow{ \mathrm{ OB } }+\overrightarrow{ \mathrm{ OD } } }{2} -\overrightarrow{ \mathrm{ OA } } \\[5pt] &=& \left(\frac{1-2}{2}-2, \frac{\sqrt{3}+0}{2}-0\right) \\[5pt] &=& \left(-\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3} }{2}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ DC } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ OC } } -\overrightarrow{ \mathrm{ OD } } \\[5pt] &=& \left(-1+2, \sqrt{3}-0\right) \\[5pt] &=& \left(1, \sqrt{3}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

よって、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ ON } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+r\overrightarrow{ \mathrm{ AM } } \\ &=& \left(2-\frac{5}{2}r, 0+\frac{\sqrt{3} }{2}r\right) \end{eqnarray}と書け、また、 \begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ ON } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ OD } }+s\overrightarrow{ \mathrm{ DC } } \\ &=& \left(-2+s, 0+s\sqrt{3}\right) \\ \end{eqnarray}とも書けることがわかります。どちらで書いても成分は同じなので \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 2-\frac{5}{2}r = -2+s \\ \displaystyle \frac{\sqrt{3} }{2}r = s\sqrt{3} \end{array} \right. \end{eqnarray}が成り立ちます。2つ目の式から $r=2s$ となるので、これを1つ目の式に入れると \begin{eqnarray} 2-5s &=& -2+s \\ -6s &=& -4 \\ s&=&\frac{2}{3} \end{eqnarray}となります。よって、 $\displaystyle r=2s=\frac{4}{3}$ となります。

上で求めた通り、 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } } = \left(-2+s, 0+s\sqrt{3}\right)$ なのでこれに $\displaystyle s=\frac{2}{3}$ を代入して
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ ON } } &=& \left(-2+\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\times \sqrt{3}\right) \\[5pt] &=& \left(-\frac{4}{3}, \frac{2\sqrt{3} }{3}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

エオカキ:5232
クケ:13
コサシス:4323
セソタチツ:43233

解答編 つづき

問題

(3) 線分 BF 上に点 P をとり、その y 座標を a とする。点 P から直線 CE に引いた垂線と、点 C から直線 EP に引いた垂線との交点を H とする。
 $\overrightarrow{ \mathrm{ EP } }$ が\[ \overrightarrow{ \mathrm{ EP } } = (\myBox{テ}, \myBox{ト}+\sqrt{\myBox{ナ}}) \]と表せることにより、 H の座標を a を用いて表すと\[ \left(\frac{\myBox{ニ}a^{\myBox{ヌ}}+\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}, \myBox{ハ}\right) \]である。
 さらに、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }$ のなす角を $\theta$ とする。 $\displaystyle \cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき、 a の値は\[ a=\pm \frac{\myBox{ヒ}}{\myBox{フヘ}} \]である。

解説

図は次のようになっています。

Px 座標は $1$ なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ EP } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OE } } \\ &=& \left(1-(-1),a-(-\sqrt{3})\right) &=& \left(2,a+\sqrt{3}\right) \end{eqnarray}となります。

また、 Hy 座標は a となります。この x 座標を h とすると
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ CH } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ OH } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OC } } \\ &=& \left(h+1,a-\sqrt{3}\right) \end{eqnarray}となります。 $\overrightarrow{ \mathrm{ EP } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ CH } }$ は垂直に交わるので、内積は0となることから h は次のように求められます。 \begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ EP } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ CH } } &=& 0 \\ 2(h+1)+(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &=& 0 \\ 2(h+1) &=& -a^2+3 \\ h &=& \frac{-a^2+3}{2}-1 \\ &=& \frac{-a^2+1}{2} \\ \end{eqnarray}

解答

テトナ:2a3
ニヌネノハ:-212a

解答編 つづき

問題

 さらに、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }$ のなす角を $\theta$ とする。 $\displaystyle \cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき、 a の値は\[ a=\pm \frac{[ヒ]}{[フヘ]} \]である。

解説

$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OH } } = |\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }||\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }|\cos\theta$ となることを用いて、 a の値を求めます。

\begin{eqnarray} \mathrm{ OP } &=& \sqrt{1^2+a^2}=\sqrt{a^2+1} \\[5pt] \mathrm{ OH } &=& \sqrt{\left(\frac{-a^2+1}{2}\right)^2+a^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\frac{a^4-2a^2+1}{4}+a^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\frac{a^4+2a^2+1}{4} } \\[5pt] &=& \frac{a^2+1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OH } } &=& (1,a)\cdot \left(\frac{-a^2+1}{2}, a\right) \\[5pt] &=& \frac{-a^2+1}{2}+a^2 \\[5pt] &=& \frac{a^2+1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、上の式に代入すると、次の式が成り立つことがわかります。 \begin{eqnarray} \frac{a^2+1}{2} &=& \sqrt{a^2+1} \cdot \frac{a^2+1}{2} \cdot \frac{12}{13} \\[5pt] 1 &=& \sqrt{a^2+1} \cdot \frac{12}{13} \\[5pt] 12^2 (a^2+1) &=& 13^2 \\[5pt] 144a^2 &=& 25 \\[5pt] a &=& \pm\frac{5}{12} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

ヒフヘ:512

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