センター試験 数学II・数学B 2017年度 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 連立方程式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \displaystyle \frac{4}{15} & \quad & \cdots ① \\[5pt] \cos \alpha \cos \beta = \displaystyle -\frac{2\sqrt{15}}{15} & \quad & \cdots ② \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}を考える。ただし、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$ であり、 $\alpha \lt \beta$ かつ\[ |\cos \alpha| \geqq |\cos\beta| \quad \cdots ③ \]とする。このとき、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めよう。

 2倍角の公式を用いると、①から\[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta = \frac{[アイ]}{[ウエ]} \]が得られる。また、②から、 $\displaystyle \cos^2\alpha \cos^2\beta =\frac{[オ]}{15}$ である。

 したがって、条件③を用いると\[ \cos^2\alpha =\frac{[カ]}{[キ]}, \cos^2\beta =\frac{[ク]}{[ケ]} \]である。よって、②と条件 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ から\[ \cos\alpha=\frac{[コ]\sqrt{[サ]}}{[シ]}, \cos\beta=\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]である。

【広告】
この本のテーマは《伝える》ことです。私たちは、この本で、数学的に正当な思考・数学的な事実を、どうすれば文章にして他者に伝えられるか、懸命に説明しています。
ちょっとした言葉づかい、論理的な説明の順序、条件と命題の違いの意識、いろいろな文字の立場の理解・・・・・・きっと、読者の皆さんの考えを読み手に《伝える》ために、すぐ役立つはずです。
著者:松野 陽一郎
出版社:旺文社
発売日:2018-09-18
ページ数:192 ページ
値段:¥1,540
(2021年09月 時点の情報です)

考え方

三角関数の公式を使う場面は少ないです、使うのは倍角の公式だけです。

後半は、解と係数の関係を使いますが、少し気づきにくいかもしれません。ただ、 $\cos^2\beta$ へ代入して $\cos^2\alpha$ の二次方程式に持っていくこともできるので、気づかなければ終わり、ということはありません。

最後は、符号に注意して答えましょう。

1 2