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センター試験 数学II・数学B 2017年度 第2問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 O を原点とする座標平面上の放物線 $y=x^2+1$ を C とし、点 $(a,2a)$ を P とする。

(1) 点 P を通り、放物線 C に接する直線の方程式を求めよう。
 C 上の点 $(t,t^2+1)$ における接線の方程式は\[ y=\myBox{ア}tx-t^2+\myBox{イ} \]である。この直線が P を通るとすると、 t は方程式\[ t^2-\myBox{ウ}at+\myBox{エ}a-\myBox{オ}=0 \]をみたすから、 $t=\myBox{カ}a-\myBox{キ},\myBox{ク}$ である。よって、 $a\ne\myBox{ケ}$ のとき、 P を通る C の接線は2本あり、それらの方程式は\[ y=(\myBox{コ}a-\myBox{サ})x-\myBox{シ}a^2+\myBox{ス}a \quad \cdots ① \]と\[ y=\myBox{セ}x \]である。

(2) (1)の方程式①で表される直線を l とする。 ly 軸との交点を $\mathrm{ R }(0,r)$ とすると、 $r=-\mybox{シ}a^2+\mybox{ス}a$ である。 $r\gt 0$ となるのは、 $\myBox{ソ}\lt a \lt \myBox{タ}$ のときであり、このとき、三角形 OPR の面積 S は\[ S=\myBox{チ}\left(a^{\myBox{ツ}}-a^{\myBox{テ}}\right) \]となる。

 $\mybox{ソ}\lt a \lt \mybox{タ}$ のとき、 S の増減を調べると、 S は $\displaystyle a=\frac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ で最大値 $\displaystyle \frac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌネ}}$ をとることがわかる。

(3) $\mybox{ソ}\lt a \lt \mybox{タ}$ のとき、放物線 C と(2)の直線 l および2直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた図形の面積を T とすると\[ T=\frac{\myBox{ノ}}{\myBox{ハ}}a^3 -\myBox{ヒ}a^2+\myBox{フ} \]である。 $\displaystyle \frac{\mybox{ト}}{\mybox{ナ}} \leqq a \lt \mybox{タ}$ の範囲において、 T は $\myBox{ヘ}$。 $\myBox{ヘ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

0: 減少する
1: 極小値をとるが、極大値はとらない
2: 増加する
3: 極大値をとるが、極小値はとらない
4: 一定である
5: 極小値と極大値の両方をとる

考え方

注目する関数がよく変わりますが、複雑さは例年並みです。図形的なひらめきもほとんど不要で、三角形の面積の箇所くらいです。最後は変わった形式ですが、微分して考えれば問題ないでしょう。


解答編

問題

 O を原点とする座標平面上の放物線 $y=x^2+1$ を C とし、点 $(a,2a)$ を P とする。

(1) 点 P を通り、放物線 C に接する直線の方程式を求めよう。
 C 上の点 $(t,t^2+1)$ における接線の方程式は\[ y=\myBox{ア}tx-t^2+\myBox{イ} \]である。

解説

$y=x^2+1$ を x で微分すると $2x$ となるので、接線の傾きは $2t$ となります。よって、接線の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& 2t(x-t)+(t^2+1) \\ &=& 2tx-2t^2+t^2+1 \\ &=& 2tx-t^2+1 \\ \end{eqnarray}となります。

解答

アイ:21

解答編 つづき

問題

この直線が P を通るとすると、 t は方程式\[ t^2-\myBox{ウ}at+\myBox{エ}a-\myBox{オ}=0 \]をみたすから、 $t=\myBox{カ}a-\myBox{キ},\myBox{ク}$ である。

解説

上で求めた直線の方程式に、点 P の座標を代入すると
\begin{eqnarray} 2a &=& 2ta-t^2+1 \\ t^2 -2at +2a-1 &=& 0 \\ \end{eqnarray}が成り立ちます。

これを因数分解すると
\begin{eqnarray} t^2 -2at +2a-1 &=& 0 \\ (t-1)\{ t-(2a-1) \} &=& 0 \end{eqnarray}となるので、この解は $t=2a-1,1$ となります。

解答

ウエオ:221
カキク:211

解答編 つづき

問題

よって、 $a\ne\myBox{ケ}$ のとき、 P を通る C の接線は2本あり、それらの方程式は\[ y=(\myBox{コ}a-\myBox{サ})x-\myBox{シ}a^2+\myBox{ス}a \quad \cdots ① \]と\[ y=\myBox{セ}x \]である。

解説


「接線が2本引ける」というのは、上で求めた解 $t=2a-1,1$ が2つある(異なる)、ということです。つまり、 $2a-1=1$ でないとき、ということですね。これを解くと $a\ne 1$ のときであることがわかります。

接線の方程式は、一番初めに求めた通り\[ y=2tx-t^2+1 \]でした。これに $t=2a-1$ を代入すると
\begin{eqnarray} y &=& 2(2a-1)x-(2a-1)^2+1 \\ &=& (4a-2)x-4a^2+4a-1+1 \\ &=& (4a-2)x-4a^2+4a \\ \end{eqnarray}となり、 $t=1$ を代入すると \begin{eqnarray} y &=& 2x-1+1 \\ &=& 2x \end{eqnarray}となります。

解答

ケ:1
コサシス:4244
セ:2

解答編 つづき

問題

(2) (1)の方程式①で表される直線を l とする。 ly 軸との交点を $\mathrm{ R }(0,r)$ とすると、 $r=-\mybox{シ}a^2+\mybox{ス}a$ である。 $r\gt 0$ となるのは、 $\myBox{ソ}\lt a \lt \myBox{タ}$ のときであり、このとき、三角形 OPR の面積 S は\[ S=\myBox{チ}\left(a^{\myBox{ツ}}-a^{\myBox{テ}}\right) \]となる。

解説

r は直線l の切片なので、 $r=-4a^2+4a$ となります。
\begin{eqnarray} r &=& -4a^2+4a \\ &=& -4a(a-1) \end{eqnarray}なので、 $0\lt a \lt 1$ のときに $r\gt 0$ となります。


三角形 OPROR を底辺とすると高さが a となるので、この三角形の面積 S
\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2} \times (-4a^2+4a) \times a \\[5pt] &=& -2a^3+2a^2 \\[5pt] &=& 2(a^2-a^3) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ソタ:01
チツテ:223

解答編 つづき

問題

 $\mybox{ソ}\lt a \lt \mybox{タ}$ のとき、 S の増減を調べると、 S は $\displaystyle a=\frac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ で最大値 $\displaystyle \frac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌネ}}$ をとることがわかる。

解説

$S=2(a^2-a^3)$ を a で微分すると
\begin{eqnarray} 2(2a-3a^2) &=& 2a(2-3a) \end{eqnarray}となります。これが 0 となるのは、 $\displaystyle a=0,\frac{2}{3}$ のときです。 $0\lt a \lt 1$ の範囲で増減表をかくと、次のようになります。 \begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline S' & & + & 0 & - & \\ \hline S & & \nearrow & & \searrow & \end{array}これより、最大となるのは、 $\displaystyle a=\frac{2}{3}$ のときであることがわかり、その値は \begin{eqnarray} & & 2\left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3 \right\} \\[5pt] &=& 2\left( \frac{4}{9}-\frac{8}{27} \right) \\[5pt] &=& 2 \times \frac{12-8}{27} \\[5pt] &=& \frac{8}{27} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

解答

トナ:23
ニヌネ:827

解答編 つづき

問題

(3) $\mybox{ソ}\lt a \lt \mybox{タ}$ のとき、放物線 C と(2)の直線 l および2直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた図形の面積を T とすると\[ T=\frac{\myBox{ノ}}{\myBox{ハ}}a^3 -\myBox{ヒ}a^2+\myBox{フ} \]である。

解説


まずは、積分をして求めてみます。
\begin{eqnarray} T &=& \int_0^a [ (x^2+1)-\{(4a-2)x-4a^2+4a\} ] dx \\[5pt] &=& \int_0^a \{ x^2+1-(4a-2)x+4a^2-4a \} dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{x^3}{3} +x -(2a-1)x^2+(4a^2-4a)x \right]_0^a \\[5pt] &=& \frac{a^3}{3} +a -(2a-1)a^2+(4a^2-4a)a \\[5pt] &=& \frac{a^3}{3} +a -2a^3 +a^2 +4a^3-4a^2 \\[5pt] &=& \frac{7}{3}a^3-3a^2 +a \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

もしくは、「放物線からx軸までの部分」から台形を引く、と考えて求めることもできます。こちらの方が少しだけ計算は楽になります。
\begin{eqnarray} T &=& \int_0^a (x^2+1)dx -\frac{ \left\{2a+(-4a^2+4a)\right\}\times a }{2} \\[5pt] &=& \left[ \frac{x^3}{3}+x \right]_0^a -(-2a^3+3a^2) \\[5pt] &=& \frac{a^3}{3} +a +2a^3-3a^2 \\[5pt] &=& \frac{7}{3}a^3-3a^2 +a \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ノハヒフ:733a

解答編 つづき

問題

$\displaystyle \frac{\mybox{ト}}{\mybox{ナ}} \leqq a \lt \mybox{タ}$ の範囲において、 T は $\myBox{ヘ}$。 $\myBox{ヘ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

0: 減少する
1: 極小値をとるが、極大値はとらない
2: 増加する
3: 極大値をとるが、極小値はとらない
4: 一定である
5: 極小値と極大値の両方をとる

解説

$\displaystyle T = \frac{7}{3}a^3-3a^2 +a$ を a で微分すると
\begin{eqnarray} 7a^2-6a+1 \end{eqnarray}となり、これが 0 となるのは、 $a=\frac{3\pm\sqrt{2} }{7}$ のときです。ここで \begin{eqnarray} \frac{2}{3} -\frac{3+\sqrt{2} }{7} &=& \frac{14-9-3\sqrt{2} }{21} \\[5pt] &=& \frac{5-\sqrt{18} }{21} \\[5pt] \end{eqnarray}なので正となることから、 $y=7a^2-6a+1$ のグラフは次のようになります。
$\displaystyle \frac{2}{3} \lt a \lt 1$ の範囲では微分が常に正なので、この範囲では T は増加することがわかります。

解答

ヘ:2

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