センター試験 数学II・数学B 2017年度 第3問 解説

問題編

問題

　以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。

(1) 等比数列 $\{s_n\}$ の初項が $1$, 公比が $2$ であるとき\[ s_1s_2s_3=\myBox{ア}, s_1+s_2+s_3=\myBox{イ} \]である。

(2) $\{s_n\}$ を初項 x, 公比 r の等比数列とする。 a, b を実数（ただし $a\ne 0$ ）とし、 $\{s_n\}$ の最初の3項が
\begin{eqnarray} & & s_1s_2s_3 = a^3 \quad \cdots ① \\ & & s_1+s_2+s_3 = b \quad \cdots ② \\ \end{eqnarray}を満たすとする。このとき \begin{eqnarray} xr=\myBox{ウ} \quad \cdots ③ \\ \end{eqnarray}である。さらに、②, ③を用いて r, a, b の満たす関係式を求めると \begin{eqnarray} \myBox{エ}r^2+(\myBox{オ}-\myBox{カ})r+\myBox{キ}=0 \quad \cdots ④ \\ \end{eqnarray}を得る。④を満たす実数 r が存在するので \begin{eqnarray} \myBox{ク}a^2+\myBox{ケ}ab-b^2 \leqq 0 \quad \cdots ⑤ \\ \end{eqnarray}である。

　逆に、 a, b が⑤を満たすとき、③, ④を用いて r, x の値を求めることができる。

(3) $a=64$, $b=336$ のとき、(2)の条件①, ②を満たし、公比が $1$ より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③, ④を用いて $\{s_n\}$ の公比 r と初項 x を求めると、 $r=\myBox{コ}$, $x=\myBox{サシ}$ である。
　$\{s_n\}$ を用いて、数列 $\{t_n\}$ を\[ t_n=s_n\log_{\mybox{コ}} s_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]と定める。このとき、 $\{t_n\}$ の一般項は $t_n=(n+\myBox{ス})\cdot \mybox{コ}^{n+\myBox{セ}}$ である。 $\{t_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $U_n$ は、 $U_n-\mybox{コ}U_n$ を計算することにより\[ U_n=\frac{\myBox{ソ}n+\myBox{タ}}{\myBox{チ}} \cdot \mybox{コ}^{n+\myBox{ツ}} -\frac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}} \]であることがわかる。

考え方

(1)はサービス問題です。(2)は数列を使った計算問題です。一般項で書き直して式変形を繰り返していく問題で、あまり数列の問題っぽさはありません。

(3)は、見た目で戦意を喪失させてきます。 $\log$ が出てきてめんどくさそうですが、きれいな「等比×等差」の式が出てきます。最後はこの和を計算する問題です。計算は面倒ですが、手順はオーソドックスです。見た目ほど怖くはありません。

解答編

問題

　以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。

(1) 等比数列 $\{s_n\}$ の初項が $1$, 公比が $2$ であるとき\[ s_1s_2s_3=\myBox{ア}, s_1+s_2+s_3=\myBox{イ} \]である。

解説

$s_1=1$, $s_2=2$, $s_3=4$ なので
\begin{eqnarray} s_1s_2s_3 &=& 1\times 2\times 4=8 \\ s_1+s_2+s_3 &=& 1+ 2+ 4=7 \\ \end{eqnarray}となります。

解答

アイ：87

解答編 つづき

問題

(2) $\{s_n\}$ を初項 x, 公比 r の等比数列とする。 a, b を実数（ただし $a\ne 0$ ）とし、 $\{s_n\}$ の最初の3項が
\begin{eqnarray} & & s_1s_2s_3 = a^3 \quad \cdots ① \\ & & s_1+s_2+s_3 = b \quad \cdots ② \\ \end{eqnarray}を満たすとする。このとき \begin{eqnarray} xr=\myBox{ウ} \quad \cdots ③ \\ \end{eqnarray}である。

解説

$s_1=x$, $s_2=xr$, $s_3=xr^2$ なので
\begin{eqnarray} s_1s_2s_3 &=& a^3 \\ x\cdot xr \cdot xr^2 &=& a^3 \\ x^3r^3 &=& a^3 \\ \end{eqnarray}xr は実数なので $xr=a$ となります。

解答

ウ：a

解答編 つづき

問題

さらに、②, ③を用いて r, a, b の満たす関係式を求めると
\begin{eqnarray} \myBox{エ}r^2+(\myBox{オ}-\myBox{カ})r+\myBox{キ}=0 \quad \cdots ④ \\ \end{eqnarray}を得る。

解説

解答

エオカキ：aaba

解答編 つづき

問題

④を満たす実数 r が存在するので
\begin{eqnarray} \myBox{ク}a^2+\myBox{ケ}ab-b^2 \leqq 0 \quad \cdots ⑤ \\ \end{eqnarray}である。

　逆に、 a, b が⑤を満たすとき、③, ④を用いて r, x の値を求めることができる。

解説

先ほど求めた関係式\[ ar^2 +(a-b)r +a = 0 \]が実数解を持つので、判別式が0以上となります。よって
\begin{eqnarray} (a-b)^2 -4a\cdot a & \geqq & 0 \\ a^2 -2ab +b^2 -4a^2 & \geqq & 0 \\ 3a^2 +2ab -b^2 & \leqq & 0 \\ \end{eqnarray}が成り立ちます。

解答

クケ：32

解答編 つづき

問題

(3) $a=64$, $b=336$ のとき、(2)の条件①, ②を満たし、公比が $1$ より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③, ④を用いて $\{s_n\}$ の公比 r と初項 x を求めると、 $r=\myBox{コ}$, $x=\myBox{サシ}$ である。

解説

先ほど求めた条件式\[ 3a^2 +2ab -b^2 \leqq 0 \]を満たすので、 r が存在します。②より
\begin{eqnarray} 64r^2 +(64-336)r +64 &=& 0 \\ 64r^2 -272r +64 &=& 0 \\ 4r^2 -17r +4 &=& 0 \\ (4r-1)(r-4) &=& 0 \\ \end{eqnarray}から、 $\displaystyle r=4,\frac{1}{4}$ が得られます。今考えるのは公比が $1$ より大きいものなので、 $r=4$ となります。

③より
\begin{eqnarray} xr &=& a \\ 4x &=& 64 \\ x &=& 16 \end{eqnarray}と求められます。

解答

解答編 つづき

問題

　$\{s_n\}$ を用いて、数列 $\{t_n\}$ を\[ t_n=s_n\log_{\mybox{コ}} s_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]と定める。このとき、 $\{t_n\}$ の一般項は $t_n=(n+\myBox{ス})\cdot \mybox{コ}^{n+\myBox{セ}}$ である。

解説

$x=16$, $r=4$ より $s_n=16\cdot 4^{n-1}=4^{n+1}$ となります。よって
\begin{eqnarray} t_n &=& s_n \log_4 s_n \\ &=& 4^{n+1} \log_4 4^{n+1} \\ &=& (n+1)\cdot 4^{n+1} \\ \end{eqnarray}となります。

解答

スセ：11

解答編 つづき

問題

$\{t_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $U_n$ は、 $U_n-\mybox{コ}U_n$ を計算することにより\[ U_n=\frac{\myBox{ソ}n+\myBox{タ}}{\myBox{チ}} \cdot \mybox{コ}^{n+\myBox{ツ}} -\frac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}} \]であることがわかる。

解説

等差×等比の和です。公比をかけてずらして差を求める、というやり方で求めます。

まずは $n\geqq 2$ とします。
\[ U_n = 2\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\cdots +(n+1)\cdot 4^{n+1} \]であり、これに公比を掛けた $4U_n$ を計算すると
\[ 4U_n = 2\cdot 4^3+3\cdot 4^4+\cdots +n\cdot 4^{n+1} +(n+1)\cdot 4^{n+2} \]となります。辺々引くと、右辺は次のようになります。 $4^k$ の部分があうように引きます。
\begin{eqnarray} & & 2\cdot 4^2 +(4^3+4^4+\cdots +4^{n+1}) -(n+1)\cdot 4^{n+2} \\[5pt] &=& 32 +\frac{4^3(4^{n-1}-1)}{4-1} -(n+1)\cdot 4^{n+2} \\[5pt] &=& 32 +\frac{4^{n+2}-4^3}{3} -(n+1)\cdot 4^{n+2} \\[5pt] &=& 32 -\frac{4^3}{3} +\frac{4^{n+2} }{3} -(n+1)\cdot 4^{n+2} \\[5pt] &=& \frac{96-64}{3} +4^{n+2}\left\{\frac{1}{3} -(n+1)\right\} \\[5pt] &=& \frac{32}{3} +4^{n+2} \cdot \frac{-3n-2}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}また、左辺は $-3U_n$ なので \begin{eqnarray} -3U_n &=& \frac{32}{3} +4^{n+2} \cdot \frac{-3n-2}{3} \\[5pt] U_n &=& -\frac{32}{9} +4^{n+2} \cdot \frac{3n+2}{9} \\[5pt] &=& \frac{3n+2}{9} \cdot 4^{n+2} -\frac{32}{9} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

$n=1$ とするとこの式の右辺は
\begin{eqnarray} \frac{3+2}{9} \cdot 4^{1+2} -\frac{32}{9} &=& \frac{5 \cdot 64-32}{9} \\[5pt] &=& 32 \end{eqnarray}となり、 $t_1$ と一致するので、これが求める一般項となります。

解答

ソタチ：329
ツ：2
テトナ：329