センター試験 数学II・数学B 2017年度 第1問 [1] 解説

解答編

問題

 連立方程式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \displaystyle \frac{4}{15} & \quad & \cdots ① \\[5pt] \cos \alpha \cos \beta = \displaystyle -\frac{2\sqrt{15}}{15} & \quad & \cdots ② \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}を考える。ただし、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$ であり、 $\alpha \lt \beta$ かつ\[ |\cos \alpha| \geqq |\cos\beta| \quad \cdots ③ \]とする。このとき、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めよう。

 2倍角の公式を用いると、①から\[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta = \frac{[アイ]}{[ウエ]} \]が得られる。また、②から、 $\displaystyle \cos^2\alpha \cos^2\beta =\frac{[オ]}{15}$ である。

解説

2倍角の公式を使って①を変形すると
\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha + \cos 2\beta &=& \frac{4}{15} \\[5pt] (2\cos^2\alpha-1) + (2\cos^2\beta-1) &=& \frac{4}{15} \\[5pt] 2\cos^2\alpha + 2\cos^2\beta &=& \frac{4}{15}+2 \\[5pt] \cos^2\alpha + \cos^2\beta &=& \frac{17}{15} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

また、②の両辺を2乗すると
\begin{eqnarray}
(\cos \alpha \cos \beta)^2 &=& \left(-\frac{2\sqrt{15}}{15}\right)^2 \\[5pt] \cos^2 \alpha \cos^2 \beta &=& \frac{4}{15} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

アイウエ:1715
オ:4

解答編 つづき

問題

 したがって、条件③を用いると\[ \cos^2\alpha =\frac{[カ]}{[キ]}, \cos^2\beta =\frac{[ク]}{[ケ]} \]である。よって、②と条件 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ から\[ \cos\alpha=\frac{[コ]\sqrt{[サ]}}{[シ]}, \cos\beta=\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]である。

解説

解と係数の関係から、 $\cos^2\alpha$ と $\cos^2\beta$ は次の二次方程式の解になります。\[ x^2-\frac{17}{15}x+\frac{4}{15}=0 \]両辺を15倍してから解の公式を使うと
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{17 \pm \sqrt{17^2-4\cdot 15 \cdot 4}}{2\cdot 15} \\[5pt] &=& \frac{17 \pm \sqrt{289-240}}{30} \\[5pt] &=& \frac{17 \pm 7}{30} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、解は $\displaystyle x=\frac{4}{5}, \frac{1}{3}$ となり、どちらかが $\cos^2\alpha$ でどちらかが $\cos^2\beta$ となります。③の両辺を2乗すると\[ \cos^2 \alpha \geqq \cos^2 \beta \]となるので、\[ \cos^2\alpha=\frac{4}{5}, \cos^2\beta=\frac{1}{3} \]が得られます。

②の右辺がマイナスなので、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ は異符号であることがわかります。また、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ という条件から、 $\cos\alpha$ が正、 $\cos\beta$ が負であることがわかります。よって
\begin{eqnarray}
\cos\alpha &=& \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \\[5pt] \cos\beta &=& -\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

カキ:45
クケ:13
コサシ:255
スセソ:-33