センター試験数学II・数学B 2017年度第1問 [1] 解説

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問題編

問題

　連立方程式
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \cos 2\alpha + \cos 2\beta = \displaystyle \frac{4}{15} & \quad & \cdots ① \\[5pt] \cos \alpha \cos \beta = \displaystyle -\frac{2\sqrt{15} }{15} & \quad & \cdots ② \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}を考える。ただし、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$ であり、 $\alpha \lt \beta$ かつ\[ |\cos \alpha| \geqq |\cos\beta| \quad \cdots ③ \]とする。このとき、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めよう。
　2倍角の公式を用いると、①から\[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta = \frac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}} \]が得られる。また、②から、 $\displaystyle \cos^2\alpha \cos^2\beta =\frac{\myBox{オ}}{15}$ である。

　したがって、条件③を用いると\[ \cos^2\alpha =\frac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}, \cos^2\beta =\frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \]である。よって、②と条件 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ から\[ \cos\alpha=\frac{\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}} }{\myBox{シ}}, \cos\beta=\frac{\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セ}} }{\myBox{ソ}} \]である。

考え方

三角関数の公式を使う場面は少ないです、使うのは倍角の公式だけです。

後半は、解と係数の関係を使いますが、少し気づきにくいかもしれません。ただ、 $\cos^2\beta$ へ代入して $\cos^2\alpha$ の二次方程式に持っていくこともできるので、気づかなければ終わり、ということはありません。

最後は、符号に注意して答えましょう。

解答編

問題

　連立方程式
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \cos 2\alpha + \cos 2\beta = \displaystyle \frac{4}{15} & \quad & \cdots ① \\[5pt] \cos \alpha \cos \beta = \displaystyle -\frac{2\sqrt{15} }{15} & \quad & \cdots ② \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}を考える。ただし、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$ であり、 $\alpha \lt \beta$ かつ\[ |\cos \alpha| \geqq |\cos\beta| \quad \cdots ③ \]とする。このとき、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めよう。
　2倍角の公式を用いると、①から\[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta = \frac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}} \]が得られる。また、②から、 $\displaystyle \cos^2\alpha \cos^2\beta =\frac{\myBox{オ}}{15}$ である。

解説

2倍角の公式を使って①を変形すると
\begin{eqnarray} \cos 2\alpha + \cos 2\beta &=& \frac{4}{15} \\[5pt] (2\cos^2\alpha-1) + (2\cos^2\beta-1) &=& \frac{4}{15} \\[5pt] 2\cos^2\alpha + 2\cos^2\beta &=& \frac{4}{15}+2 \\[5pt] \cos^2\alpha + \cos^2\beta &=& \frac{17}{15} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

また、②の両辺を2乗すると
\begin{eqnarray} (\cos \alpha \cos \beta)^2 &=& \left(-\frac{2\sqrt{15} }{15}\right)^2 \\[5pt] \cos^2 \alpha \cos^2 \beta &=& \frac{4}{15} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

アイウエ：1715
オ：4

解答編つづき

問題

　したがって、条件③を用いると\[ \cos^2\alpha =\frac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}, \cos^2\beta =\frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \]である。よって、②と条件 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ から\[ \cos\alpha=\frac{\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}} }{\myBox{シ}}, \cos\beta=\frac{\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セ}} }{\myBox{ソ}} \]である。

解説

解と係数の関係から、 $\cos^2\alpha$ と $\cos^2\beta$ は次の二次方程式の解になります。\[ x^2-\frac{17}{15}x+\frac{4}{15}=0 \]両辺を15倍してから解の公式を使うと
\begin{eqnarray} x &=& \frac{17 \pm \sqrt{17^2-4\cdot 15 \cdot 4} }{2\cdot 15} \\[5pt] &=& \frac{17 \pm \sqrt{289-240} }{30} \\[5pt] &=& \frac{17 \pm 7}{30} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、解は $\displaystyle x=\frac{4}{5}, \frac{1}{3}$ となり、どちらかが $\cos^2\alpha$ でどちらかが $\cos^2\beta$ となります。③の両辺を2乗すると\[ \cos^2 \alpha \geqq \cos^2 \beta \]となるので、\[ \cos^2\alpha=\frac{4}{5}, \cos^2\beta=\frac{1}{3} \]が得られます。

②の右辺がマイナスなので、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ は異符号であることがわかります。また、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ という条件から、 $\cos\alpha$ が正、 $\cos\beta$ が負であることがわかります。よって
\begin{eqnarray} \cos\alpha &=& \sqrt{\frac{4}{5} } = \frac{2\sqrt{5} }{5} \\[5pt] \cos\beta &=& -\sqrt{\frac{1}{3} } = \frac{-\sqrt{3} }{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。