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センター試験 数学II・数学B 2014年度 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$数列 $\{a_n\}$ の初項は $6$ であり、 $\{a_n\}$ の階差数列は初項が $9$, 公差が $4$ の等差数列である。

(1) $a_2=\myBox{アイ}$, $a_3=\myBox{ウエ}$ である。数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。 $\{a_n\}$ の階差数列の第 n 項が $\myBox{オ} n +\myBox{カ}$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{キ}\ n^{\bbox[1px, border:2px solid]{ク} } +\myBox{ケ}n+\myBox{コ} \quad \cdots ① \]である。

(2) 数列 $\{b_n\}$ は、初項が $\displaystyle \frac{2}{5}$ で、漸化式\[ b_{n+1} = \frac{a_n}{a_{n+1}-1}b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ② \]を満たすとする。 $\displaystyle b_2=\frac{\myBox{サ} }{\myBox{シス} }$ である。数列 $\{b_n\}$ の一般項と初項から第 n 項までの和 $S_n$ を求めよう。

 ①, ②により、すべての自然数 n に対して\[ b_{n+1} = \frac{\myBox{セ}n+\myBox{ソ} }{\mybox{セ}n+\myBox{タ} }b_n \quad \cdots ③ \]が成り立つことがわかる。
ここで\[ c_n = \left( \mybox{セ}n+\mybox{ソ} \right) b_n \quad \cdots ④ \]とするとき、③を $c_n$ と $c_{n+1}$ を用いて変形すると、すべての自然数 n に対して\[ \left(\mybox{セ}n+\myBox{チ}\right) c_{n+1} = \left(\mybox{セ}n+\myBox{ツ}\right) c_n \]が成り立つことがわかる。これにより\[ d_n= \left(\mybox{セ}n+\myBox{テ}\right) c_n \quad \cdots ⑤ \]とおくと、すべての自然数 n に対して、 $d_{n+1}=d_n$ が成り立つことがわかる。 $d_1=\myBox{ト}$ であるから、すべての自然数 n に対して、 $d_n=\mybox{ト}$ である。したがって、④と⑤により、数列 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n = \frac{\mybox{ト} }{\left(\mybox{セ}n+\mybox{ソ}\right) \left(\mybox{セ}n+\mybox{テ}\right)} \]である。また\[ b_n = \frac{\myBox{ナ} }{\mybox{セ}n+\mybox{ソ} } -\frac{\myBox{ニ} }{\mybox{セ}n+\mybox{テ} } \]が成り立つことを利用すると、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $S_n$ は\[ S_n=\frac{\myBox{ヌ}n}{\myBox{ネ}n+\myBox{ノ} } \]であることがわかる。

考え方

苦手な人が多い「階差数列」からのスタートで、いきなりとっつきにくい感じです。(1)からわりと計算があります。計算があっているかどうか、 $n=1,2,3$ などを入れて確認しましょう。ここが間違っていると、後の問題が解けません。

(2)は、たくさん数列が出てくるので、何を計算しているかわかりづらいです。ただ、計算量はそんなに多くないので、言われた通りに式変形をしていきます。最終的に「部分分数の差に分けて、数列の和を求める」という解き方に持っていくのですが、よく練習していないと誘導の意味はわかりにくいかもしれません。


【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$数列 $\{a_n\}$ の初項は $6$ であり、 $\{a_n\}$ の階差数列は初項が $9$, 公差が $4$ の等差数列である。

(1) $a_2=\myBox{アイ}$, $a_3=\myBox{ウエ}$ である。

解説

階差数列の初項が 9 なので、\[ a_2=a_1+9=6+9=15 \]となります。

階差数列の公差が 4 なので
\begin{eqnarray} a_3 &=& a_2+(9+4) \\ &=& 15+13 = 28 \\ \end{eqnarray}となります。

解答

アイ:15
ウエ:28

解答編 つづき

問題

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。 $\{a_n\}$ の階差数列の第 n 項が $\myBox{オ} n +\myBox{カ}$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{キ}\ n^{\bbox[1px, border:2px solid]{ク} } +\myBox{ケ}n+\myBox{コ} \quad \cdots ① \]である。

解説

階差数列は初項が 9 で公差が 4 の等差数列なので、第 n 項は
\begin{eqnarray} 9+4\times(n-1)=4n+5 \end{eqnarray}となります。

$n\geqq 2$ のとき、 $a_n$ は、階差数列の初項から $(n-1)$ 項目までを $a_1$ に足せば求められるので
\begin{eqnarray} a_n &=& a_1 +\sum_{k=1}^{n-1} (4k+5) \\[5pt] &=& 6 +4\times \frac{(n-1)\times n}{2} +5(n-1) \\[5pt] &=& 6 +2n^2-2n +5n-5 \\[5pt] &=& 2n^2 +3n +1 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。この式で $n=1$ とすると $6$ になるので、このときも上の式は成り立ちます。

なお、試験では、 $n=2,3$ としたときに、上で求めた結果 $a_2=15$, $a_3=28$ と一致することを確認するようにしましょう。

解答

オカ:45
キクケコ:2231

解答編 つづき

問題

(2) 数列 $\{b_n\}$ は、初項が $\displaystyle \frac{2}{5}$ で、漸化式\[ b_{n+1} = \frac{a_n}{a_{n+1}-1}b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ② \]を満たすとする。 $\displaystyle b_2=\frac{\myBox{サ} }{\myBox{シス} }$ である。

解説

②で $n=1$ とし、 $a_1=6$, $a_2=15$ であることを用いると
\begin{eqnarray} b_2 &=& \frac{a_1}{a_2-1}b_1 \\[5pt] &=& \frac{6}{15-1} \times \frac{2}{5} \\[5pt] &=& \frac{6}{35} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

解答

サシス:635

解答編 つづき

問題

数列 $\{b_n\}$ の一般項と初項から第 n 項までの和 $S_n$ を求めよう。

 ①, ②により、すべての自然数 n に対して\[ b_{n+1} = \frac{\myBox{セ}n+\myBox{ソ} }{\mybox{セ}n+\myBox{タ} }b_n \quad \cdots ③ \]が成り立つことがわかる。

解説

①を②に代入する前に、まずは、①で $a_{n+1}$ がどうなるかを計算しておきます。
\begin{eqnarray} a_{n+1} &=& 2(n+1)^2 +3(n+1) +1 \\ &=& 2n^2+4n+2 +3n+3 +1 \\ &=& 2n^2+7n+6 \\ \end{eqnarray}となります。

これを使って、①を②に代入すると
\begin{eqnarray} b_{n+1} &=& \frac{a_n}{a_{n+1}-1}b_n \\[5pt] &=& \frac{2n^2 +3n +1}{2n^2+7n+6-1}b_n \\[5pt] &=& \frac{(2n+1)(n+1)}{2n^2+7n+5}b_n \\[5pt] &=& \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+5)(n+1)}b_n \\[5pt] &=& \frac{2n+1}{2n+5}b_n \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。

解答

セソタ:215

解答編 つづき

問題

ここで\[ c_n = \left( \mybox{セ}n+\mybox{ソ} \right) b_n \quad \cdots ④ \]とするとき、③を $c_n$ と $c_{n+1}$ を用いて変形すると、すべての自然数 n に対して\[ \left(\mybox{セ}n+\myBox{チ}\right) c_{n+1} = \left(\mybox{セ}n+\myBox{ツ}\right) c_n \]が成り立つことがわかる。

解説

$c_n=(2n+1)b_n$ とすると $\displaystyle b_n=\frac{c_n}{2n+1}$ となります。また、 $b_{n+1}$ は
\begin{eqnarray} b_{n+1} &=& \frac{c_{n+1} }{2(n+1)+1} \\[5pt] &=& \frac{c_{n+1} }{2n+3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、これらを③に代入すると \begin{eqnarray} b_{n+1} &=& \frac{2n+1}{2n+5} b_n \\[5pt] \frac{c_{n+1} }{2n+3} &=& \frac{2n+1}{2n+5} \times \frac{c_n}{2n+1} \\[5pt] (2n+5) c_{n+1} &=& (2n+3) c_n \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。

解答

チツ:53

解答編 つづき

問題

これにより\[ d_n= \left(\mybox{セ}n+\myBox{テ}\right) c_n \quad \cdots ⑤ \]とおくと、すべての自然数 n に対して、 $d_{n+1}=d_n$ が成り立つことがわかる。 $d_1=\myBox{ト}$ であるから、すべての自然数 n に対して、 $d_n=\mybox{ト}$ である。

解説

先ほど得られた式\[ (2n+5) c_{n+1} = (2n+3) c_n \]で、左辺を $n+1$ の式になるように変形すると\[ \{ 2(n+1)+3 \} c_{n+1} = (2n+3) c_n \]となります。よって、 $d_n=(2n+3)c_n$ とおくと、\[ d_{n+1}=d_n \]が成り立つことがわかります。つまり、 $d_n=d_1$ となることがわかります。

また、
\begin{eqnarray} d_1 &=& (2+3)c_1 \\[5pt] &=& 5 \times (2+1)b_1 \\[5pt] &=& 15\times \frac{2}{5} \\[5pt] &=& 6 \\ \end{eqnarray}なので、 $d_n=6$ となります。

解答

テト:36

解答編 つづき

問題

したがって、④と⑤により、数列 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n = \frac{\mybox{ト} }{\left(\mybox{セ}n+\mybox{ソ}\right) \left(\mybox{セ}n+\mybox{テ}\right)} \]である。また\[ b_n = \frac{\myBox{ナ} }{\mybox{セ}n+\mybox{ソ} } -\frac{\myBox{ニ} }{\mybox{セ}n+\mybox{テ} } \]が成り立つことを利用すると、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $S_n$ は\[ S_n=\frac{\myBox{ヌ}n}{\myBox{ネ}n+\myBox{ノ} } \]であることがわかる。

解説

$d_n=6$ なので⑤から
\begin{eqnarray} c_n &=& \frac{d_n}{2n+3} \\ &=& \frac{6}{2n+3} \\ \end{eqnarray}が得られます。これを④に代入して \begin{eqnarray} b_n &=& \frac{c_n}{2n+1} \\[5pt] &=& \frac{6}{(2n+1)(2n+3)} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

この和を求めるために、部分分数の差に分けます。分けた後の式が\[ \frac{a}{2n+1}-\frac{a}{2n+3} \]になっていたとして、分子の a を求めます。この式を計算すると
\begin{eqnarray} \frac{a}{2n+1}-\frac{a}{2n+3} &=& \frac{a(2n+3)-a(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \\[5pt] &=& \frac{2a}{(2n+1)(2n+3)} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、上の $b_n$ の式と見比べると、 $a=3$ とすればいいことがわかります。よって、\[ b_n = \frac{3}{2n+1}-\frac{3}{2n+3} \]と変形できます。

この式から、 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $S_n$ を求めると
\begin{eqnarray} S_n &=& b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \\[5pt] &=& \left(\frac{3}{3}-\frac{3}{5}\right) +\left(\frac{3}{5}-\frac{3}{7}\right) +\left(\frac{3}{7}-\frac{3}{9}\right) \\[5pt] & & +\cdots +\left(\frac{3}{2n+1}-\frac{3}{2n+3}\right) \\[5pt] &=& \frac{3}{3}-\frac{3}{2n+3} \\[5pt] &=& \frac{2n+3-3}{2n+3} \\[5pt] &=& \frac{2n}{2n+3} \\[5pt] \end{eqnarray}と求めることができます。

解答

ナニ:33
ヌネノ:223

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