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センター試験 数学II・数学B 2014年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$自然数 m, n に対して、不等式\[ \log_2 m^3+\log_3n^2\leqq 3 \quad \cdots ④ \]を考える。

 $m=2$, $n=1$ のとき、 $\log_2 m^3+\log_3n^2=\myBox{ソ}$ であり、この m, n の値の組は④を満たす。
 $m=4$, $n=3$ のとき、 $\log_2 m^3+\log_3n^2=\myBox{タ}$ であり、この m, n の値の組は④を満たさない。

 不等式④を満たす自然数 $m,n$ の組の個数を調べよう。④は\[ \log_2m+\frac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} }\log_3 n \leqq \myBox{テ} \quad \cdots ⑤ \]と変形できる。
 n が自然数のとき、 $\log_3 n$ のとり得る最小の値は $\myBox{ト}$ であるから、⑤により、 $\log_2 m\leqq \mybox{テ}$でなければならない。 $\log_2 m\leqq \mybox{テ}$ により、 $m=\myBox{ナ}$ または $m=\myBox{ニ}$ でなければならない。ただし、 $\mybox{ナ}\lt\mybox{ニ}$ とする。

 $m=\mybox{ナ}$ の場合、⑤は $\displaystyle \log_3 n\leqq \frac{\myBox{ヌ} }{\myBox{ネ} }$ となり、 $n^2\leqq \myBox{ノハ}$ と変形できる。よって、 $m=\mybox{ナ}$ のとき、⑤を満たす自然数 n のとり得る値の範囲は $n\leqq\myBox{ヒ}$ である。したがって、 $m=\mybox{ナ}$ の場合、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\mybox{ヒ}$ である。
 同様にして、 $m=\mybox{ニ}$ の場合、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\myBox{フ}$ である。
 以上のことから、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\myBox{ヘ}$ である。

考え方

対数不等式を満たす自然数の組を求める、という少し見慣れない問題です。しかし、誘導が丁寧で、複雑な計算もありません。基本的な $\log$ の計算がわかっていれば、最後まで行けるはずです。


【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$自然数 m, n に対して、不等式\[ \log_2 m^3+\log_3n^2\leqq 3 \quad \cdots ④ \]を考える。

 $m=2$, $n=1$ のとき、 $\log_2 m^3+\log_3n^2=\myBox{ソ}$ であり、この m, n の値の組は④を満たす。
 $m=4$, $n=3$ のとき、 $\log_2 m^3+\log_3n^2=\myBox{タ}$ であり、この m, n の値の組は④を満たさない。

解説

\begin{eqnarray} & & \log_2 2^3+\log_3 1^2 \\ &=& 3+0=3 \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} & & \log_2 4^3+\log_3 3^2 \\ &=& \log_2 2^6+2 \\ &=& 6+2=8 \end{eqnarray}となります。

解答

ソタ:38

解答編 つづき

問題

 不等式④を満たす自然数 $m,n$ の組の個数を調べよう。④は\[ \log_2m+\frac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} }\log_3 n \leqq \myBox{テ} \quad \cdots ⑤ \]と変形できる。

解説

変形後は $\log_2 m$ となっており、3乗がなくなっています。そのため、3を前に出す変形をすればいいですね。
\begin{eqnarray} \log_2 m^3+\log_3 n^2 & \leqq & 3 \\ 3\log_2 m +2\log_3 n & \leqq & 3 \\ \log_2 m +\frac{2}{3}\log_3 n & \leqq & 1 \\ \end{eqnarray}となります。

解答

チツテ:231

解答編 つづき

問題

 n が自然数のとき、 $\log_3 n$ のとり得る最小の値は $\myBox{ト}$ であるから、⑤により、 $\log_2 m\leqq \mybox{テ}$でなければならない。 $\log_2 m\leqq \mybox{テ}$ により、 $m=\myBox{ナ}$ または $m=\myBox{ニ}$ でなければならない。ただし、 $\mybox{ナ}\lt\mybox{ニ}$ とする。

解説

n が自然数のとき、 $\log_3 n$ が最小となるのは、 n が最小のときなので、 $n=1$ のときです。このとき、 $\log_3 n=0$ となります。

よって、⑤の $\displaystyle \log_2 m +\frac{2}{3}\log_3 n \leqq 1$ が成り立つためには、 $\log_2 m \leqq 1$ が成り立たなければいけません。このことから、 $m=1,2$ でないといけないことがわかります。

解答

トナニ:012

解答編 つづき

問題

 $m=\mybox{ナ}$ の場合、⑤は $\displaystyle \log_3 n\leqq \frac{\myBox{ヌ} }{\myBox{ネ} }$ となり、 $n^2\leqq \myBox{ノハ}$ と変形できる。よって、 $m=\mybox{ナ}$ のとき、⑤を満たす自然数 n のとり得る値の範囲は $n\leqq\myBox{ヒ}$ である。したがって、 $m=\mybox{ナ}$ の場合、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\mybox{ヒ}$ である。

解説

$m=1$ のとき、 $\log_2 m=0$ なので、⑤は $\displaystyle \frac{2}{3}\log_3 n \leqq 1$ となります。これを変形すると
\begin{eqnarray} \frac{2}{3}\log_3 n & \leqq & 1 \\ \log_3 n & \leqq & \frac{3}{2} \\ n & \leqq & 3^{\frac{3}{2} } \\ n^2 & \leqq & 27 \\ \end{eqnarray}となります。これを満たす自然数 n は $n\leqq 5$ を満たす自然数なので、 $m,n$ の組は5組となります。

解答

ヌネ:32
ノハ:27
ヒ:5

解答編 つづき

問題

 同様にして、 $m=\mybox{ニ}$ の場合、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\myBox{フ}$ である。
 以上のことから、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\myBox{ヘ}$ である。

解説

$m=2$ のとき、 $\log_2 m=1$ なので、⑤は $\displaystyle \frac{2}{3}\log_3 n \leqq 0$ となります。これより、 $\log_3 n \leqq 0$ なので、 $n=1$ しかありえません。よって、このときの $m,n$ の組は1組となります。

先ほどの結果と合わせれば、全部で6組であることがわかります。

解答

フ:1
ヘ:6

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