センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第4問 解説
【必答問題】
問題編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$A, B, C の3人がいる。また、「A」と書かれた玉が3個、「B」と書かれた玉が2個、「C」と書かれた玉が1個ある。「A」と書かれた玉の持ち主はAで、「B」と書かれた玉の持ち主はB、「C」と書かれた玉の持ち主はCである。
(1) 全部の玉を一つの袋に入れておき、袋から1個の玉を取り出して、出た玉の持ち主を勝者とするゲームを考える。ゲームが1回終わるごとに、出た玉を袋に戻す。
(i) ゲームを4回行うとき、勝者が順に A, A, B, C となる確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ア} }{\myBox{イウ} }$ である。
(ii) ゲームを4回行うとき、 B が2回以上勝つ確率は $\displaystyle \frac{\myBox{エオ} }{\myBox{カキ} }$ である。
(iii) ゲームを6回行うとき、A が3回、B が2回、C が1回勝つ確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ク} }{\myBox{ケコ} }$ である。
(2) こんどは、 A, B, C のうち2人の対戦を考える。2人の対戦では、対戦者2人が持つ玉だけを全部合わせて一つの袋に入れ、袋から1個の玉を取り出して、出た玉の持ち主を勝者とする。1回対戦が終わるごとに、すべての玉を持ち主に返す。
優勝賞金を60万円用意して、A と B 、 A と C 、 B と C が1回ずつ対戦する「総当り戦」を行い、勝った回数が最も多い人が優勝賞金を受け取る。該当者が複数いる場合は、該当者の間で等分する。(i) A, B, C が20万円ずつ受け取る確率は $\displaystyle \frac{\myBox{サ} }{\myBox{シ} }$ である。
(ii) A が20万円以上受け取る確率は $\displaystyle \frac{\myBox{スセ} }{\myBox{ソタ} }$ である。
(iii) A が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{チツ}$ 万円、 B が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{テト}$ 万円、 C が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{ナ}$ 万円である。
考え方
(1)と(2)は状況が全然違うので、(1)の答えを(2)で使う、ということはありません。
(1)の(ii)は余事象を考えたほうがいいでしょう。
(2)は、3試合した結果、それぞれの人が勝った回数は「2,1,0」か「1,1,1」の場合しかありません。つまり、優勝賞金は60万円か20万円の場合しかありません。よって、(ii)は(i)の答えに、60万円を受け取る確率を足せばいいことがわかります。(iii)は、2人の期待値が分かれば、残り1人の期待値は60万円から引いて出すことができます。
【必答問題】
解答編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$A, B, C の3人がいる。また、「A」と書かれた玉が3個、「B」と書かれた玉が2個、「C」と書かれた玉が1個ある。「A」と書かれた玉の持ち主はAで、「B」と書かれた玉の持ち主はB、「C」と書かれた玉の持ち主はCである。
(1) 全部の玉を一つの袋に入れておき、袋から1個の玉を取り出して、出た玉の持ち主を勝者とするゲームを考える。ゲームが1回終わるごとに、出た玉を袋に戻す。
(i) ゲームを4回行うとき、勝者が順に A, A, B, C となる確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ア} }{\myBox{イウ} }$ である。
解説
A, B, C が勝つ確率は、それぞれ、 $\displaystyle \frac{3}{3+2+1}=\frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, $\displaystyle \frac{1}{6}$ です。よって、勝者が順に A, A, B, C となる確率は\[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{72} \]となります。
解答
アイウ：172
解答編 つづき
問題
(ii) ゲームを4回行うとき、 B が2回以上勝つ確率は $\displaystyle \frac{\myBox{エオ} }{\myBox{カキ} }$ である。
解説
B が勝つ回数は、0回から4回までの5通りあります。「2回以上」とは、2回から4回までの3通りなので、全体から「0回と1回」を引いたほうが早そうです。
B が勝つ回数が0の場合、4回とも A か C が勝ちます。 A か C が勝つ確率は $\displaystyle \frac{1}{2} +\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ なので、B が勝つ回数が0となる確率は\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81} \]となります。
B が勝つ回数が1の場合、B が勝つのが何回目かが4通りあり、他は A か C が勝ちます。よって、B が勝つ回数が1となる確率は\[ 4 \times \frac{1}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{32}{81} \]となります。
よって、 B が2回以上勝つ確率は\[ 1-\frac{16}{81}-\frac{32}{81}=\frac{33}{81}=\frac{11}{27} \]と求められます。
解答
エオカキ：1127
解答編 つづき
問題
(iii) ゲームを6回行うとき、A が3回、B が2回、C が1回勝つ確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ク} }{\myBox{ケコ} }$ である。
解説
「A が何回目で勝つか」の選び方が ${}_6 \mathrm{ C }_3$ 通りあり、それから「B が何回目で勝つか」の選び方が ${}_3 \mathrm{ C }_2$ 通りあります。よって
\begin{eqnarray}
& &
{}_6 \mathrm{ C }_3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times {}_3 \mathrm{ C }_2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{1}{6} \\[5pt]
&=&
20 \times \frac{1}{8} \times 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{6} \\[5pt]
&=&
\frac{5}{36} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
解答
クケコ：536
解答編 つづき
問題
(2) こんどは、 A, B, C のうち2人の対戦を考える。2人の対戦では、対戦者2人が持つ玉だけを全部合わせて一つの袋に入れ、袋から1個の玉を取り出して、出た玉の持ち主を勝者とする。1回対戦が終わるごとに、すべての玉を持ち主に返す。
優勝賞金を60万円用意して、A と B 、 A と C 、 B と C が1回ずつ対戦する「総当り戦」を行い、勝った回数が最も多い人が優勝賞金を受け取る。該当者が複数いる場合は、該当者の間で等分する。(i) A, B, C が20万円ずつ受け取る確率は $\displaystyle \frac{\myBox{サ} }{\myBox{シ} }$ である。
解説
A, B, C が20万円ずつ受け取るというのは、3人とも1回ずつ勝つということですね。こうなる場合を考えましょう。
もし A と B の対戦で A が勝つとすると、次の対戦では C が、その次の対戦では B が勝つことになります。もし、1回目の対戦で B が勝つとすると、3回目の対戦では C が勝たなくてはならず、2回目の対戦では A が勝たなくてはいけないことになります。この2パターンしかありません。
A と B の対戦で A が勝つ確率は、 $\displaystyle \frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$ で、 B が勝つ確率は $\displaystyle 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ です。他の確率も同様に計算すると、A, B, C が20万円ずつ受け取る確率は
\begin{eqnarray}
& &
\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} +\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{10} +\frac{1}{10} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
解答
サシ：15
解答編 つづき
問題
(ii) A が20万円以上受け取る確率は $\displaystyle \frac{\myBox{スセ} }{\myBox{ソタ} }$ である。
解説
まずは、A が20万円以上受け取る場合がどういうときかを考えます。
A の勝つ回数が2回の場合、A の単独優勝なので60万円を受け取ることになります。 A の勝つ回数が1回の場合、A が賞金を得るには、B も C も1回勝つときであることがわかります。また、このときは20万円の賞金を得ることができます。 A の勝つ回数が0回の場合は、 A が賞金を受け取ることはありません。
A が1回だけ勝つ確率は、(i)で求めたものになります。2回勝つ確率は、1試合目と2試合目で A が勝てばいいので、 A が20万円以上受け取る確率は
\begin{eqnarray}
\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{5}
&=&
\frac{9}{20} + \frac{4}{20} \\[5pt]
&=&
\frac{13}{20} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
解答
スセソタ：1320
解答編 つづき
問題
(iii) A が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{チツ}$ 万円、 B が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{テト}$ 万円、 C が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{ナ}$ 万円である。
解説
(ii)で見たように、 A が受け取る賞金は、60万円か20万円か0円のどれかです。60万円のときは、 A が2回勝つときで、その確率は、(ii)の途中で計算したように $\displaystyle \frac{9}{20}$ となります。20万円となる確率は、(i)で求めたように $\displaystyle \frac{1}{5}$ となります。よって、A が受け取る優勝賞金の期待値は
\begin{eqnarray}
60\times\frac{9}{20}+20\times\frac{1}{5}=27+4=31
\end{eqnarray}万円となります。
B が受け取る賞金も、60万円か20万円か0円のどれかです。20万円となる確率は、(i)で求めたように $\displaystyle \frac{1}{5}$ です。60万円となるのは、 B が2回勝つときなので、そうなる確率は\[ \frac{2}{5}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{15} \]となります。よって、B が受け取る優勝賞金の期待値は
\begin{eqnarray}
60\times\frac{4}{15}+20\times\frac{1}{5}=16+4=20
\end{eqnarray}万円となります。
C が受け取る賞金も、60万円か20万円か0円のどれかです。20万円となる確率は、(i)で求めたように $\displaystyle \frac{1}{5}$ です。60万円となるのは、 C が2回勝つときで、そうなる確率は\[ \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12} \]となります。よって、C が受け取る優勝賞金の期待値は
\begin{eqnarray}
60\times\frac{1}{12}+20\times\frac{1}{5}=5+4=9
\end{eqnarray}万円となります。
なお、 A, B, C の優勝賞金を全部合わせると常に60万円になることから、 C が受け取る賞金の期待値は、60万円から A と B が受け取る賞金の期待値を引いて\[ 60-31-20=9 \]万円、と求めることもできます。
解答
チツテトナ：31209
