東京大学 理系 2017年度 第2問 解説

問題編

問題

 座標平面上で x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 P を考える。
 (a) 最初に、点 P は原点 O にある。
 (b) ある時刻で点 P が格子点 $(m,n)$ にあるとき、その1秒後の点 P の位置は、隣接する格子点 $(m+1,n)$, $(m,n+1)$, $(m-1,n)$, $(m,n-1)$ のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ $\dfrac{1}{4}$ である。

(1) 点 P が、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ。
(2) 点 P が、最初から6秒後に原点 O にある確率を求めよ。

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考え方

(1)は、点から点への移動と考えるとパターンが多すぎます。(2)より(1)の方が先に出題されているということは、点の移動ではなく、線に着目したほうが簡単に解けるのではないか、と想像できます。

(2)は、(1)のことをいったん忘れて解くことができます。場合分けはそんなに多くないので、こちらは点から点の移動で考えたほうが早いかもしれません。

人によっては、(2)はできて(1)ができない、ということもあります。(1)を使わなくても(2)はできる可能性があるので、挑戦してみましょう。