東京大学 理系 2017年度 第1問 解説

問題編

問題

 実数 a, b に対して\[ f(\theta)=\cos 3\theta +a\cos 2\theta +b\cos\theta \]とし、 $0\lt\theta \lt \pi$ で定義された関数\[ g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1} \]を考える。

(1) $f(\theta)$ と $g(\theta)$ を $x=\cos\theta$ の整式で表せ。
(2) $g(\theta)$ が $0\lt \theta \lt\pi$ の範囲で最小値 $0$ をとるための a, b についての条件を求めよ。また、条件を満たす点 $(a,b)$ が描く図形を座標平面上に図示せよ。

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考え方

(1)は、三倍角、倍角の公式を使って、 $\cos\theta$ だけの式に変形します。 $g(\theta)$ は、 $\theta=0$ のとき、つまり、 $x=1$ のときに、分母も分子も0になるので、分子は分母で割り切れることに注意します。

(2)は、軸に文字が入った場合の、二次関数の最小値を考える問題です。軸の位置に分けて場合分けをします。区間の両端が区間に含まれていないことに注意しましょう。