東京大学 理系 2015年度 第1問 解説

問題編

問題

正の実数 a に対して、座標平面上で次の放物線を考える。
\[
C:y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}
\] a が正の実数全体を動くとき、 C の通過する領域を図示せよ。

考え方

この問題は、2通りの解き方が考えられます。1つは、まずxを固定し、aを動かした時のyがとりうる範囲を求め、次にxも動かす、というやり方。もう1つは、元の式をaに関する式として考え、正の実数解をもつようなxyを求める、というやり方です。

前者は思いつきやすい一方、少しだけ計算が必要になります。後者の解き方はちょっと数学的なセンスが必要な解法ですが、計算はずいぶん楽になります。それぞれ見ていきましょう。