東京大学 理系 2006年度 第3問 解説

問題編

【問題】
 Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点$\mathrm{ P }(0,p)$と、直線$m:y=(\tan \theta)x$が与えられている。ここで、$p\gt 1$、$\displaystyle 0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$とする。

 いま、傾きが$\alpha$の直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線$y=1$上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。

(1) このとき、$\tan\theta$を$\alpha$とpで表せ。

(2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
 条件:どのような$\displaystyle \theta \ (0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2})$に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線は$\displaystyle y=\left(\tan\frac{\theta}{3}\right)x$となる。

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【考え方】
まず(1)です。lの傾きがわかっていますが、切片がわかっていません。これをまず求めます。これはOの移動に着目すれば求めることができます。

lの方程式がわかれば後は簡単ですが、計算が結構やっかいです。答えは複雑で、とても不安な形になります。

(2)はlの傾き$\alpha$と$\theta$の関係式がもう1つ増えたので、(1)と合わせれば解けそうです。しかし、ここも計算がやっかいです。三倍角の公式を使って、あとはひたすら計算するだけです。答えはきれいな値になります。

(2)については、図形的にも解くことができます。(1)を解いた後に、図形的に解こうという気にはなかなかなりにくいですが、図形的にはわりとすっきり解けます。解答後に別解として記載します。