東京大学 理系 2006年度 第1問 解説

問題編

【問題】
 Oを原点とする座標平面上の4点$\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$、$\mathrm{ P }_3$、$\mathrm{ P }_4$で、条件\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n-1} } + \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n+1} } = \frac{3}{2} \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_n } \quad (n=2,3) \]を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$が曲線$xy=1$上にあるとき、$\mathrm{ P }_3$はこの曲線上にはないことを示せ。

(2) $\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$、$\mathrm{ P }_3$が円周$x^2+y^2=1$上にあるとき、$\mathrm{ P }_4$もこの円周上にあることを示せ。

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【考え方】
条件がベクトルで与えられていますが、ベクトルのまま扱うのはやめたほうがいいです。曲線の式が与えられているので、座標で考えるのがいいでしょう。計算自体は難しくありません。

(2)は条件を使って計算するだけです。(1)は$xy \ne 1$を言わないといけないので、計算するだけではいけません。(2)より(1)の方が解きにくい問題です。