東京大学 文系 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
 投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを1枚用意し、次のように左から順に文字を書く。

 コインを投げ、表が出たときは文字列AAを書き、裏が出たときは文字Bを書く。さらに繰り返しコインを投げ、同じ規則に従って、AA, Bをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。

 たとえば、コインを5回投げ、その結果が順に表, 裏, 裏, 表, 裏であったとすると、得られる文字列は、\[\mathrm{ AABBAAB }\]となる。このとき、左から4番目の文字はB、5番目の文字はAである。

(1) nを正の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。

(2) nを2以上の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n-1$番目の文字がAで、かつn番目の文字がBとなる確率を求めよ。

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【考え方】
この問題は、同じ年の理系第2問とほぼ同じです。若干条件が変わっていますが、難易度はほとんど変わっていません。解答・解説もほぼ同じ内容です。

直接確率を求めるのは難しそうです。そういう場合、「$n$回○○したときの××する確率を求める問題」は、数列の問題に持ち込むのがよさそうです。つまり、$n$の場合と$n+1$の場合からうまく漸化式を作って一般項を求める、という方法を考えてみましょう。

仮に$n$番目の文字がAとなる確率が求められたとしましょう。このとき$n+1$番目の文字がAとなる確率をうまく漸化式でかければOKです。

$n$番目がAではなく、$n+1$番目の文字がAとなる場合は、簡単に計算できます。しかし、$n$番目がAで、$n+1$番目の文字もAとなる場合は、ちょっと面倒なことがわかります。というのも、「$n$番目がAとなるとき」のAが、「AA」の1つ目のAなのか2つ目のAなのかで状況が変わるからです。1つ目のAなら、必ず$n+1$番目はAになります。一方、2つ目のAだった場合は、$n+1$番目は1/2の確率でAになります。

このことから、この問題をめんどくさくしている原因は、「AAの1つ目と2つ目が同じ文字」であることがわかります。なので、ちょっと発想の転換で、無理やり別の文字にしてみましょう。「AA」を「AA’」と書くことにして、$n$番目がAまたはA’となる確率を求めればそれが(1)の答えになります。この方針で解いてみます。