なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$p を実数とし、 $f(x)=x^3-px$ とする。

(1) 関数 $f(x)$ が極値を持つための p の条件を求めよう。 $f(x)$ の導関数は $f'(x) = \myBox{ア}\ x^{\bbox[1px, border:2px solid]{イ}}-p$ である。したがって、 $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるならば、 $\mybox{ア}a^{\bbox[1px, border:1px solid gray]{イ}}-p=\myBox{ウ}$ が成り立つ。さらに、 $x=a$ の前後での $f'(x)$ の符号の変化を考えることにより、 p が条件 $\myBox{エ}$ を満たす場合は、 $f(x)$ は必ず極値をもつことがわかる。 $\myBox{エ}$ に当てはまるものを、次の0~4のうちから一つ選べ。

 0: $p=0$  1: $p\gt 0$  2: $p\geqq 0$
 3: $p\lt 0$  4: $p\leqq 0$

(2) 関数 $f(x)$ が $\displaystyle x=\frac{p}{3}$ で極値をとるとする。また、曲線 $y=f(x)$ を C とし、 C 上の点 $\displaystyle \left( \frac{p}{3}, f\left(\frac{p}{3}\right) \right)$ を A とする。

 $f(x)$ が $\displaystyle x=\frac{p}{3}$ で極値をとることから、 $p=\myBox{オ}$ であり、 $f(x)$ は $x=\myBox{カキ}$ で極大値をとり、 $x=\myBox{ク}$ で極小値をとる。

 曲線 C の接線で、点 A を通り傾きが $0$ でないものを l とする。 l の方程式を求めよう。 lC の接点の x 座標を b とすると、 l は点 $(b,f(b))$ における C の接線であるから、 l の方程式は b を用いて\[ y=\left( \myBox{ケ}b^2-\myBox{コ} \right)(x-b)+f(b) \]と表すことができる。また、 l は点 A を通るから、方程式\[ \myBox{サ}b^3-\myBox{シ}b^2+1=0 \]を得る。この方程式を解くと、 $\displaystyle b=\myBox{ス},\frac{\myBox{セソ}}{\myBox{タ}}$ であるが、 l の傾きが $0$ でないことから、 l の方程式は\[ y=\frac{\myBox{チツ}}{\myBox{テ}}x+\frac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}} \]である。
 点 A を頂点とし、原点を通る放物線を D とする。 lD で囲まれた図形のうち、不等式 $x\geqq 0$ の表す領域に含まれる部分の面積 S を求めよう。 D の方程式は\[ y=\myBox{ニ}x^2-\myBox{ヌ}x \]であるから、定積分を計算することにより、 $\displaystyle S=\frac{\myBox{ネノ}}{24}$ となる。

[広告]

考え方

ほとんど、誘導通りに進んでいけます。計算量もそれほど多くなく、ひっかかるところもすくないです。

一番最後の面積を求める際、交点の座標は実は求める必要はありません。求めてもそれほど大きな時間のロスにはなりませんが、省略できることに気づけるようになっておいたほうがいいでしょう。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: 微分と積分の基礎
トピック: 微分(文系), 積分(文系)
レベル: ふつう
キーワード: 面積, 接線, 積分, 微分
更新日:2017/01/21