なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$定数 a, b, c は $a+b+c=1$, $ab+bc+ca=-2$, $abc=-1$ を満たすとする。

(1) $a^2+b^2+c^2=\myBox{ア}$, $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\myBox{イ}$ である。

 次に、 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\mybox{イ}$ の両辺を2乗することで\[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\myBox{ウ} \]であることがわかる。

(2) x の2次式 A を\[ A=\left(ax-\frac{1}{a}\right)^2 +\left(bx-\frac{1}{b}\right)^2 +\left(cx-\frac{1}{c}\right)^2 \]とおく。\[ A=\myBox{エ}x^2 -\myBox{オ}x +\myBox{カ} \]であり、 $A=7$ を満たす x の値は $\displaystyle \frac{\myBox{キ} \pm \sqrt{\myBox{クケ}}}{\myBox{コ}}$ である。

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考え方

式の値でよく出題される形式の問題です。与えられた式を変形したり、求めたい式を変形して、わかっている値が代入できるようにしましょう。ウは、「2乗する」と書いているのでその通りすれば求められます。

(2)は素直に展開していきます。(1)で求めた値も使うと、 A が求められます。最後は二次方程式の解の公式を使います。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2014年度
分野: 数と式, 二次関数
トピック: 展開と因数分解, 二次関数
レベル: ふつう
キーワード: 二次方程式の解の公式, 式の計算
更新日:2017/01/26