【標準】放物線と係数の符号

🕒 2022/07/04 🔄 2023/05/01

ここでは、二次関数のグラフが与えられている状況で、係数の符号を答える問題を考えていきます。

📘 目次

例題

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが次のようになっているとき、 $a,b,c,a+b+c$ のそれぞれについて、正、0、負のどれであるか、答えなさい。

具体的な値がわからなくても、このグラフだけから符号を求めることができます。一つ一つ考えていきましょう。

まず、すぐにわかるものがあります。 $a$ の符号です。 $x^2$ の係数が正なら下に凸（U のような形）で負なら上に凸となります（参考：【基本】二次関数 y=ax^2 のグラフ）。なので、グラフを見てすぐに $a$ は負であることがわかります。

次に、 $c$ の符号もすぐにわかります。 $y=ax^2+bx+c$ に $x=0$ を代入すれば、右辺は $c$ だけになります。つまり、グラフは $(0,c)$ を通っている、ということです。この点は、グラフと $y$ 軸との交点のことであり、交点の $y$ 座標は正だから、 $c$ も正であることがわかります。

$b$ と $a+b+c$ はもう少し考えないといけません。

bの符号

$a$ と $c$ の符号は比較的すぐにわかりますが、 $b$ は少し難しいです。二次関数のグラフの中で特徴的なもののうち、 $b$ が含まれているものを考えてみましょう。

そうすると、二次関数の軸が使えそうだとわかります（参考：【標準】二次関数y=ax^2+bx+cのグラフの頂点）。 $y=ax^2+bx+c$ の右辺を平方完成すると\[ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} \]となることから、放物線の軸は $x=-\dfrac{b}{2a}$ と表すことができます。

問題にある図を見ると、放物線の軸は $y$ 軸よりも左にあります。なので、 $-\dfrac{b}{2a}$ が負であるということです。 $a$ は負だとわかっているので、 $b$ も負でないといけません。

少し難しいですが、 $b$ の正負は、このように、放物線の軸に着目して求めることができます。

和の符号

最後に、 $a+b+c$ の符号を考えましょう。

$a$ が負、 $b$ も負、 $c$ は正だとわかりました。これらの情報だけでは、和が正になるか負になるか特定することはできません。他にグラフから読み取れるものを考えます。

$x=\dfrac{1}{2}$ のときに、グラフが $x$ 軸と交わっていることがわかります。これは、 $x=\dfrac{1}{2}$ を代入すると $y=0$ になるということなので、\[ \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c=0 \]が成り立つということです。この左辺に、さらに $\dfrac{3}{4}a+\dfrac{b}{2}$ という負の数を足せば $a+b+c$ になることから、 $a+b+c$ は負だとわかります。

もしくは、次のように考えてもいいでしょう。 $x=\dfrac{1}{2}$ のときに $x$ 軸と交わって以降、右に行くほど、グラフは下に行きます。ということは、 $x=1$ としたときの $y$ の値は負なので、 $a+b+c$ は負だとわかります。

$a+b+c$ を3つの和だととらえると考えにくいですが、 $x=1$ を代入したときの $y$ の値だと気づければ、グラフから情報を読み取ることができるようになります。