【標準】ベクトルの内積と二等辺三角形

🕒 2017/09/02 🔄 2023/05/01

ここでは、ベクトルの内積を使って、二等辺三角形に関する性質を見直してみます。

📘 目次

二等辺三角形の底辺の中点

三角形 ABC は、 $\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ の二等辺三角形とします。また、 BC の中点を点 D とします。

このとき、 AD と BC は垂直に交わります。

図形的に考えても、これを示すのはそれほど難しくはありません。仮定から、 $\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ と $\mathrm{ BD }=\mathrm{ CD }$ が成り立ち、 AD は共通なので、三角形 ABD と三角形 ACD について、3組の辺がそれぞれ等しいことがわかります。よって、この2つの三角形は合同です。なので、 $\angle \mathrm{ ADB }=\angle \mathrm{ ADC }=90^{\circ}$ となります。

これを踏まえて、ベクトルの話を見ていきましょう。

ベクトルの内積と二等辺三角形

先ほど見た内容を、ベクトルの内積を使って考えてみましょう。

「垂直」というのは、ベクトルの世界では「内積が $0$ 」と言い換えることができます（参考：【基本】ベクトルの内積となす角）。これを示すことを目標に、考えていきます。

まず、ベースとなるベクトルを決めましょう。 $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }=\vec{b}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }=\vec{c}$ とおくのが自然でしょう。二等辺三角形なので、\[ |\vec{b}| = |\vec{c}| \]が成り立ちます。

もう一つの点 D についても考えましょう。これは中点なので、【標準】三角形とベクトルの演算で見たように、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ AD } }=\frac{\vec{b}+\vec{c} }{2} \]となります。「中間にある点だから、足して2で割るんだな」と覚えてもいいし、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ AD } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ AB } }+\frac{1}{2}\overrightarrow{ \mathrm{ BC } } \\[5pt] &=& \vec{b}+\frac{\vec{c}-\vec{b} }{2} \\[5pt] &=& \frac{\vec{b}+\vec{c} }{2} \\[5pt] \end{eqnarray}と考えてもいいです。

これらの結果から、ベクトルの内積を計算してみましょう。
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{ \mathrm{ AD } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } } \\[5pt] &=& \frac{\vec{b}+\vec{c} }{2} \cdot \left(\vec{c}-\vec{b}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}さらに、【基本】ベクトルの内積の性質で見た内容から、ベクトルの内積については分配法則が成り立つので、展開して \begin{eqnarray} & & \overrightarrow{ \mathrm{ AD } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } } \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \left(\vec{c}\cdot\vec{c}-\vec{b}\cdot\vec{b}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \left(|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\right) \\[5pt] \end{eqnarray}と計算できます。最後の式変形も、【基本】ベクトルの内積の性質で見た「同じベクトル同士の内積」の部分を使っています。

$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ なので、最後の式のカッコ内は $0$ だから、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ AD } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=0 \]が得られます。

このようにして、 AD と BC が垂直であることを、ベクトルの内積を用いて示すことができます。

計算によって図形の性質が示せる、というのがベクトルのいいところです。