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【標準】群数列

🕒 2018/02/20 🔄 2023/05/01

ここでは、もとの数列のある項が、第何群の何番目か、を考える群数列の問題を見ていきます。【基本】群数列と似ていますが、少しだけ違う数列を扱います。

📘 目次

1からkまでが続いていく数列

次のような数列を考えてみましょう。\[ 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\cdots \]はじめは1、次は1と2、次は1から3、次は1から4、と続いていきます。以下、 1から k が続いていくとします。この数列の第100項は何か、を考えてみましょう。

これは、【基本】群数列で取り上げた数列とすごく似ています。ここで見た内容を応用しながら考えていきましょう。

この数列は、前から1個、2個、3個、4個、…と区切っていった方が考えやすそうですね。\[ 1\mid1,2\mid1,2,3\mid1,2,3,4\mid1,\cdots \]こうして、はじめから n 番目のまとまりを、第 n 群とよぶ、というのが、群数列の考え方でしたね。

第何群に含まれるか

さて、まずは、第100項が、第何群に含まれるのか、というのを考えましょう。【基本】群数列で見た内容と被っていますが、復習の意味も込めてみていきます。

第 k 群には、 k 個の項が含まれています。なので、初項から第 k 群の最後までの項の数は\[ 1+2+3+\cdots+k \]であることがわかります。和の公式から、 $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ ですね。

このことから、第100項がどの群に含まれるかを考えるには、100に近い $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ の値を考えればよさそうです。ざっくりでいいので、\[ \dfrac{1}{2}k^2=100 \]として考えてみると、 k は14くらいだとわかります。これより、第14群の最後の項が、もとの数列の第何項に対応しているかを計算すると、\[ \frac{1}{2}\times 14 \times 15=105 \]となります。これの5つ前が第100項だから、「第100項は第14群に含まれている」ということがわかります。

第何群の何番目の項か

【基本】群数列のときと異なり、今回は「第何群に含まれているか」だけでは答えがわかりません。第14群の何番目か、を知る必要があります。

ただ、第105項は第14群の最後だから、第105項は14だとわかります。これから逆にたどっていけばいいですね。
\begin{eqnarray} \textsf{第105項}&:&14 & & \textsf{(第14群の14番目)} \\[5pt] \textsf{第104項}&:&13 & & \textsf{(第14群の13番目)} \\[5pt] \textsf{第103項}&:&12 & & \textsf{(第14群の12番目)} \\[5pt] \textsf{第102項}&:&11 & & \textsf{(第14群の11番目)} \\[5pt] \textsf{第101項}&:&10 & & \textsf{(第14群の10番目)} \\[5pt] \textsf{第100項}&:&9 & & \textsf{ (第14群の9番目)} \\[5pt] \end{eqnarray}これより、9だとわかります。

また、第14群のはじめから考える、という方法もあります。場合によってはこちらの方が考えやすいこともあります。ただ、その前に「第14群のはじめは、もとの数列の第何項か」を求めておく必要があります。

これは、「第13群の終わりの次の項」と考えます。各群の最後の項が第何項か、というのはすぐにわかるので、こういう考え方をするわけです。

第13群の終わりの項は\[ \frac{1}{2}\times 13\times 14=91 \]だから、もとの数列の第91項だ、とわかります。これより、第14群のはじめは、第92項であることがわかるので、
\begin{eqnarray} \textsf{第92項} &:&1 \\[5pt] \textsf{第93項} &:&2 \\[5pt] \textsf{第94項} &:&3 \\[5pt] \textsf{第95項} &:&4 \\[5pt] \textsf{第96項} &:&5 \\[5pt] \textsf{第97項} &:&6 \\[5pt] \textsf{第98項} &:&7 \\[5pt] \textsf{第99項} &:&8 \\[5pt] \textsf{第100項} &:&9 \\[5pt] \end{eqnarray}となり、9であることがわかります。人によっては、\[ 1+(100-92)=9 \]などとして求めたほうがわかりやすく感じるかもしれません。書き出しても、計算でも、どちらで求めてもいいですが、1個でもズレると不正解になってしまうので、どのような求め方が一番自分にあっているか、いろいろ試しておきましょう。