【基本】群数列

ここでは、特徴的な数列を使って、群数列について見ていくことにします。

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kがk個並ぶ数列

次のような数列を考えてみましょう。\[ 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\cdots \]1が1個、2が2個、3が3個、4が4個、と続いていきます。以下、 kk 個並ぶとします。この数列の第100項は何でしょう。これについて考えてみましょう。

いきなり、第100項は何か、と考えてもなかなか難しいですね。まずは、この数列のはじめの項を見ながら、この数列の特徴について見ていくことにしましょう。

初項、つまり、第1項は、1ですね。

その後は、2が2個続くので、第2項と第3項は2です。

その後には、3が3個続くので、第4項と第5項と第6項は3です。

その後は、4が4個続くので、第7項から第10項までは4となります。

これらの、各数字が最後に表れる場所に注目してみましょう。1は第1項です。2が最後に表れるのは第3項です。なぜなら、「1が1個と2が2個、合計3個の数字を並べた一番最後」だからです。

3が最後に表れるのは、第6項です。これも、数字が何個並んでいるかを考えればいいですね。「1個、2個、3個と数字を並べたときの、一番最後」なので、 $1+2+3=6$ 番目の項となるわけですね。

つまり、 k が一番最後に表れるのは、「数字を、1個、2個、3個、…、k 個、と並べたときの、一番最後」のところなので、これらの和を計算して、 $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ 番目だ、とわかります。

実際、4が最後に表れるのは第10項ですが、これは、 $k=4$ としたときの第 $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ 項、と言い換えることもできます。

なので、例えば、 $10$ が一番最後に出てくる項は\[ \frac{1}{2}\times 10 \times 11=55 \]より、第55項だ、ということがわかります。

これを見て、第100項の数字が何であるかは、\[ \frac{1}{2}k(k+1)=100 \]を満たす k を見つければいいんだ、と考える人がいるかもしれません。ただ、左辺は「 k が出てくる最後の項」を表しているため、ぴったり100になるとは限りません。

ですが、だいたいの数字が分かればいいんですね。むしろ、次の式くらいにざっくりした式でもいいです。\[ k^2=200 \]これだと、だいたい k は $14$ くらいだな、とわかります。では、逆に、 $14$ が最後に出てくるのは第何項かを求めると\[ \frac{1}{2}\times 14 \times 15=105 \]より、第105項であるとわかります。ここが、 $14$ の出てくる最後の項ですが、 $14$ は14個並んでいるわけなので、第105項が $14$ なら、第100項も $14$ となります。よって、答えは $14$ です。

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群数列

先ほど見た数列\[ 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\cdots \]では、いくつかの項をかたまりと見て考えるとわかりやすくなります。はじめの1項、次から2項、その次から3項、そのさらに次から4項、というように、前から k 個ずつ区切って、それぞれを1つのまとまりと考えたほうがわかりやすいです。\[ 1\mid2,2\mid3,3,3\mid4,4,4,4\mid\cdots \]

このような数列のことを、群数列 といいます。群数列では、前から、「1個、2個、3個、4個、…」と区切っていくこともあれば、「1個、2個、4個、8個、…」と区切っていくこともあります。区切り方はいろいろあります。

数列をいくつかのまとまりで区切ったとき、それぞれのまとまりを群とよび、前から第1群、第2群、…と呼びます。

群数列に関連する問題は、

  • もとの数列の第何項かを考えるために数列の和が必要になること
  • n群の話ともとの数列の話が混じってややこしいこと
  • 計算が煩雑になりやすいこと

などの理由で、難易度が高くなりやすく、苦手とする人が多いです。試験でもそんなに問われることはないのですが、出題されたときの被害は大きいです。順序立てて考えていけば解ける問題も多いので、これから考え方を身につけていきましょう。

おわりに

ここでは、特徴的な数列を用いて、群数列の例を見ました。第100項は何か、というような問題は、群数列の典型的な問題です。【標準】群数列などで、さらに典型的な問題を見ていくことにしましょう。