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【応用】群数列

🕒 2018/02/21 🔄 2023/05/01

ここでは、群数列の第 n 群に含まれる項の和を求める、という問題を考えていきます。

📘 目次

奇数の列をグループに分ける

ここでは、次のような奇数の列を考え、前から1個、2個、3個、4個…と分けていくことにします。\[ 1\mid 3,5 \mid 7,9,11\mid 13,15,17,19\mid 21\cdots \]この群数列の第 n 群に含まれる項の和を求めてみましょう。

「第 n 群に含まれる項の和」を考えるためには、まず、第 n 群が、もとの数列の第何項から第何項までなのか、がわからないと考えづらいですね。まずはこれを求めることにしましょう。

第n群は第何項から第何項までか

【標準】群数列でも見ましたが、まずは、第 n 群の最後の項が、もとの数列の第何項にあたるかを考えます。各群の項数を足せば求められますね。そのため、\[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1) \]より、第 n 群の最後の項は、もとの数列の第 $\dfrac{1}{2}n(n+1)$ 項であることがわかります。

第 n 群には、項が n 個含まれていることから、第 n 群のはじめの項は\[ \frac{1}{2}n(n+1)-(n-1)=\frac{n^2-n+2}{2} \]より、もとの数列の第 $\dfrac{n^2-n+2}{2}$ 項であることがわかります。

第 n 群のはじめの項は、別の求め方もできます。「第 $n-1$ 群の最後の項の次」と考える方法です。第 $n-1$ 群の最後の項は、 $1$ から $n-1$ までの和を計算すればいいので、第 $\dfrac{1}{2}n(n-1)$ 項だとわかります。よって、第 n 群のはじめの項は第 $\left\{\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\right\}$ 項だとわかります。

後者の求め方の場合、 $n=1$ の場合に注意しないといけません。「第 $n-1$ 群」が意味をなさないからです。ただ、 $n=1$ のときを計算すると、 $1$ となるのであっていますね。上の式は、 $n=1$ でも成り立ちます。

前者の求め方（第 n 群の最後から、最初の項を考える方法）の場合は、 $n-1$ が出てこないので、 $n=1$ の場合を分けて考える必要はありません。

第n群に含まれる項の和は

さて、第 n 群は、もとの数列の第 $\dfrac{n^2-n+2}{2}$ 項から第 $\dfrac{1}{2}n(n+1)$ 項までであることがわかりました。このことから、この群に含まれる項の和を求めましょう。

項の数は n ですね。また、もとの数列で、第 k 項は\[ 2k-1 \]と書けることから、第 n 群のはじめ項の値は
\begin{eqnarray} & & 2\times \dfrac{n^2-n+2}{2}-1 \\[5pt] &=& n^2-n+2-1 \\[5pt] &=& n^2-n+1 \end{eqnarray}となり、最後の項の値は \begin{eqnarray} & & 2\times \dfrac{1}{2}n(n+1)-1 \\[5pt] &=& n^2+n-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。等差数列の和の公式から、 \begin{eqnarray} \frac{n\{ (n^2-n+1)+(n^2+n-1) \} }{2} =n^3 \end{eqnarray}となります。これが答えです。

スッキリしたきれいな式ですね。実際に計算して確かめてみましょう。第2群は\[ 3+5=8=2^3 \]となり、あっています。第3群は\[ 7+9+11=27=3^3 \]となり、第4群は\[ 13+15+17+19=64=4^3 \]となるので、間違っていないことがわかりますね。