【基本】よく出る0度から180度までの三角比の値

ここでは、0度から180度までの中で、よく登場する角度の三角比をまとめておきます。慣れないうちは、この記事にあるような図を描いて考えましょう。

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この記事の内容は以下の動画でも解説しています。


0度から90度まで

直角三角形を使った定義ではなく、円を使った定義で90度までの三角比を考えます。鋭角の場合は、直角三角形で考えたときと、値は同じです。

円を使った三角比の定義では、半径 r の円を考え、 $\mathrm{ A }(r,0)$ として、 $\angle \mathrm{ POA }=\theta$ となる点 $\mathrm{ P }(x,y)$ をとって、\[ \sin\theta=\frac{y}{r}, \ \cos\theta=\frac{x}{r},\ \tan\theta=\frac{y}{x} \]とするのでしたね。

basic-trigonometric-functions-definitions-obtuse-angle-01

最終的に比を考えることになるので、はじめから半径は $1$ としておいたほうが、何かと便利になります。

そうすると、さきほどの式は次のようにもっと簡潔に書けます。\[ \sin\theta=y,\ \cos\theta=x,\ \tan\theta=\frac{y}{x} \]x 座標が $\cos\theta$ 、 y 座標が $\sin\theta$ 、OP の傾きが $\tan\theta$ になる、ということですね。

これを踏まえて、点の座標から、よく出る三角比の値をおさえておきましょう。

basic-trigonometric-functions-0-180-01

この図から、0度から90度まででよく出る角度の三角比は、次のようになります。( $\tan 90^{\circ}$ は定義できません)

$\theta$ $0^{\circ}$ $30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$
$\sin\theta$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos\theta$ $1$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$
$\tan\theta$ $0$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ ×
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90度から180度まで

同様に、90度から180度も図を描いて考えます。

basic-trigonometric-functions-0-180-02

90度から180度で、よく出る角度の三角比をまとめておきます。

$\theta$ $90^{\circ}$ $120^{\circ}$ $135^{\circ}$ $150^{\circ}$ $180^{\circ}$
$\sin\theta$ $1$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$
$\cos\theta$ $0$ $-\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$
$\tan\theta$ × $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $0$

分母を2にすると見えてくるもの

ここまでに紹介したもののうち、 $\sin\theta$, $\cos\theta$ について、規則性が見えやすい表し方があるので、紹介します。

$0=\sqrt{0}$, $1=\sqrt{1}$, $2=\sqrt{4}$ であることを利用すれば、次のように書くことができます。

$\theta$ $0^{\circ}$ $30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$ $120^{\circ}$ $135^{\circ}$ $150^{\circ}$ $180^{\circ}$
$\sin\theta$ $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$
$\cos\theta$ $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{4}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{\Box}}{2}$ の形でそろえると、$\sqrt{\Box}$ の部分は、 $\sin\theta$ なら $\sqrt{0}$ → $\sqrt{4}$ → $\sqrt{0}$ と変化し、 $\cos\theta$ なら $\sqrt{4}$ → $\sqrt{0}$ → $-\sqrt{4}$ と変化することがわかります。わかりやすい変化になっていますね。

三角比のとる値の特徴

今度は、辺の比がわかりやすい角度以外についても見ていきます。

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ の範囲で、三角比のとる値の特徴を見てみます。そして、最後に表でまとめます。

$\sin\theta$ は y 座標を、 $\cos\theta$ は x 座標を表していたので、次のことが図からわかります。\[ 0\leqq \sin\theta \leqq 1, \ -1\leqq\cos\theta\leqq 1 \]また、角度 $\theta$ を $0^{\circ}$ から徐々に大きくしていくと、 $\sin\theta$ は $90^{\circ}$ になるまで徐々に大きくなり、 $90^{\circ}$ 以降は、徐々に小さくなっていきます。一方、 $\cos\theta$ は、角度が大きくなれば点は左に移動していくので、角度が大きくなるほど値が小さくなっていくことがわかります。

$\tan\theta$ は直線の傾きを表していました。角度が大きくなっていくと、傾きは急になっていくので、 $90^{\circ}$ までは値がどんどん大きくなり、すべての正の実数値をとります。また、 $90^{\circ}$ を超えると、直線は右肩下がりで、徐々に緩やかになっていくので、値はマイナスの値から0に近づいていきます。これも、 $90^{\circ}$ に近づけていくとわかる通り、すべての負の実数値をとります。

これらのことをまとめて、表にします。

$\theta$ $0^{\circ}$ $\cdots$ $90^{\circ}$ $\cdots$ $180^{\circ}$
$\sin\theta$ $0$ 小 ⇒ 大
(正の値)
$1$ 大 ⇒ 小
(正の値)
$0$
$\cos\theta$ $1$ 大 ⇒ 小
(正の値)
$0$ 大 ⇒ 小
(負の値)
$-1$
$\tan$ $0$ 小 ⇒ 大
(正の値)
× 小 ⇒ 大
(負の値)
$0$

おわりに

ここでは、よく登場する角度の三角比や、三角比の値の特徴を見てきました。ここで出てきた表は、暗記するものではありません。自分で図を描いて考えられるようにすることが重要です。