【基本】和の公式（2乗の和）

🕒 2018/01/30 🔄 2023/08/13

ここでは、 $1^2$ から $n^2$ までの2乗の和の公式について見ていきます。

📘 目次

2乗の和の公式

【基本】和の公式(1からnまでの和)で見た通り、 $1$ から $n$ までの和は、次のように表すことができます。\[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1) \]これは、初項が $1$ で公差が $1$ の等差数列の和、と見ることもできます。なので、【基本】等差数列の和を使ってこの式を導くこともできます。

さて、では、2乗の和はどうなるでしょうか。\[ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 \]これは、 $1,4,9,\cdots$ と増えていきます。差は一定ではないので、等差数列ではありません。また、比が一定でもないので、等比数列でもありません。そのため、今まで考えてきた発想では、和を求めることはできません。

2乗の和の公式を導くためには、かなり特殊なテクニックを使います。普通に考えても思いつかないテクニックなので、まずは見てみましょう。

いきなり不思議な式を出してきますが、 $(k+1)^3-k^3$ を考えてみましょう。2乗の和ですが、一度、3乗について考えます。展開して計算すると、\[ (k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1 \]となります。

さて、ここで、 $k=1,2,3,\cdots$ と代入していきましょう。すると、次のようになります。
\begin{eqnarray} 2^3-1^3 &=& 3\cdot 1^2 & +3\cdot 1 & +1 \\[5pt] 3^3-2^3 &=& 3\cdot 2^2 & +3\cdot 2 & +1 \\[5pt] 4^3-3^3 &=& 3\cdot 3^2 & +3\cdot 3 & +1 \\[5pt] \end{eqnarray}こうすると何がいいかと言うと、左辺を辺々足すと、途中でたくさん相殺されるんですね。最終的に、最後の式の1項目と最初の式の $-1^3$ が残ります。なので、左辺の結果がわかりやすい式で求められます。

また、右辺は、縦に足してみましょう。1項目を縦に足すと、2乗の和が出てきます。求めたかった式が出てくるわけです。2項目を縦に足すと、これは1乗の和、自然数の和が出てきます。これは冒頭で見た通り、すでに公式があります。3項目は、 $1$ を何度も足すだけなので、これも値がわかります。

つまり、辺々足したときに、左辺の結果はわかる、右辺の2項目、3項目の和は計算できる、ということから、右辺の1項目の和が求められる、という流れになるわけです。

上の式を、 $k=n$ の場合まで足すことにしましょう。 $k=n$ のときは、次のようになります。\[ (n+1)^3-n^3 = 3\cdot n^2 +3\cdot n +1 \]この n 個の式を辺々足すと、左辺は $(n+1)^3-1^3$ だけが残ります。右辺の2項目の部分は\[ 3\cdot\frac{1}{2}n(n+1) \]となり、3項目の部分は $n$ となります。

以上から、 $S=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$ とおくと、次のように求めることができます。
\begin{eqnarray} (n+1)^3-1 &=& 3S+\frac{3}{2}n(n+1)+n \\[5pt] 3S &=& (n+1)^3-1-\frac{3}{2}n(n+1)-n \\[5pt] &=& n^3+3n^2+3n -\frac{3}{2}(n^2+n) -n \\[5pt] &=& n^3 +\frac{3}{2}n^2 +\frac{1}{2}n \\[5pt] &=& \frac{n(2n^2+3n+1)}{2} \\[5pt] &=& \frac{n(2n+1)(n+1)}{2} \\[5pt] S &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\[5pt] \end{eqnarray}

少し複雑な式ですが、数列の分野ではこの公式もよく使います。

自然数の2乗の和

\begin{eqnarray} & & 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray}

例えば、 $1^2+2^2+3^2$ なら\[ \frac{3\cdot 4\cdot 7}{6}=14 \]であり、直接計算した答えと合うことがわかります。 $100^2$ までの和なら、直接計算するのは大変ですが、上の公式を使えば\[ \frac{100\cdot 101 \cdot 201}{6}=338350 \]と求めることができます。