【基本】一次不等式の解き方

【基本】不等式の性質の内容をもとに、ここでは一次不等式の解き方を見ていきます。どんな性質だったかをもう一度書くと、

• 不等式の両辺に、同じ数を足したり引いたりしても、不等号の向きは変わらない。
• 不等式の両辺に、同じ正の数を掛けたり、同じ正の数で割ったりしても、不等号の向きは変わらない。
• 不等式の両辺に、同じ負の数を掛けたり、同じ負の数で割ったりすると、不等号の向きが変わる。

一次不等式の解き方

不等式の右辺にある変数を左辺にすべて移行をしたとき、左辺の次数が１になる不等式のことを一次不等式といいます。例えば、 $x+2\gt 0$ や $-2y+7 \leqq y-1$ は一次不等式です。一方、$x^2+2x\lt 3$ や $\sqrt{x+1} \geqq 2$ などは一次不等式とは呼びません。

一次不等式の解き方は、一次方程式のときとかなり似ています。文字を含むものを左辺に、含まないものを右辺に移項し、両辺を係数で割ればおしまいです。注意が必要なのは、「両辺に負の数を掛ける・両辺を負の数で割るときは、不等号の向きを変える」ことです。

慣れてくれば、もっと計算しやすいように変形することもできます。小数や分数がある場合は、まず両辺に正の数を掛けてから、移行をしたほうが簡単になることがあります。

とにかく、「負の数を掛けたり割ったりしたときに、不等号の向きが変わる」点はすごく見落としやすいです。計算間違いに注意しましょう。

具体的な例を使って解き方を見ていきましょう。

例題

(1)は、まず文字を含むものを左辺に、含まないものを右辺に移項します。
\begin{eqnarray} 3x+2 & \gt & 14 \\ 3x & \gt & 14-2 \\ 3x & \gt & 12 \\ \end{eqnarray}次に、両辺を $x$ の係数で割ります。すると、次が得られます。\[ x\gt 4 \]これが答えです。基本的には、方程式を解くときと同じですね。

(2) $-0.9x-1.5\leqq -0.3x-2.1$ は、小数なのでじゃまくさいですね。こういう場合は両辺を10倍して、小数ではない形にしたほうが計算しやすいでしょう。それ以降は、(1)と同様です。
\begin{eqnarray} -0.9x-1.5 & \leqq & -0.3x-2.1 \\ -9x-15 & \leqq & -3x-21 \\ -9x+3x & \leqq & -21+15 \\ -6x & \leqq & -6 \\ \end{eqnarray}ここで注意しないといけないのは、負の数で割ったときに、不等号の向きが変わるということです。今の場合であれば、$-6$ という負の数で割るので、不等号の向きは次のように反転させなくてはいけません。\[ x\geqq 1 \]これが(2)の答えです。

最後の(3) $\displaystyle \frac{x+3}{4}-1 \lt \frac{x}{3}$ は分数なので、これもじゃまくさいですね。通分して計算してもいいですが、はじめに両辺を何倍かして、分数でない形にしたほうが計算しやすいでしょう。今の場合であれば、両辺を12倍すればいいですね。
\begin{eqnarray} \frac{x+3}{4}-1 & \lt & \frac{x}{3} \\[5pt] 3(x+3)-12 & \lt & 4x \\ \end{eqnarray}12を掛けた直後はこうなります。左辺にある「-1」にも掛けることを忘れないようにしましょう。あとは同じです。 \begin{eqnarray} 3(x+3)-12 & \lt & 4x \\ 3x+9-12 & \lt & 4x \\ 3x-4x & \lt & 3 \\ -x & \lt & 3 \\ x & \gt & -3 \\ \end{eqnarray}これが答えです。最後は「マイナス1」という負の数を両辺に掛けるので、不等号を反転するのを忘れないようにしましょう。

おわりに

一次不等式の解き方を見てきました。負の数の掛け算・割り算のときは不等号の向きを変えなければいけませんが、その点以外は一次方程式と同じ方針で解けます。

なお、グラフを用いて一次不等式を解く方法もあります。【基本】一次不等式と一次関数のグラフを参考にしてみましょう。