【基本】絶対値のついた二次関数のグラフ

🕒 2020/07/05 🔄 2023/05/01

ここでは、絶対値のついた二次関数のグラフをかく問題を見ていきます。

📘 目次

絶対値のついた二次関数のグラフその１

例題1

次の関数のグラフをかきなさい\[ y=|x^2-2x| \]

絶対値のついた関数のグラフをかくには、場合分けをして絶対値をはずすのが基本です。 $x^2-2x$ の符号に注目して、絶対値をはずします。

$x^2-2x\geqq 0$ を解くと $x(x-2)\geqq 0$ より、 $x\leqq 0, x\geqq 2$ となります。また、 $x^2-2x\lt 0$ となるのは $0\lt x \lt 2$ のときであることもわかります。

以上から、 $y=|x^2-2x|$ のグラフは次のようになります。

【基本】絶対値のついた一次関数のグラフでも見たように、 $y=|f(x)|$ の形の関数のグラフは $y=f(x)$ のグラフで $x$ 軸の下側を折り返したものになります。この例題でも、 $0\lt x\lt 2$ の範囲では、 $y=x^2-2x$ のグラフを折り返したものになっています。この問題では、「折り返し」を利用してグラフをかいても構いません。

絶対値のついた二次関数のグラフその２

例題2

次の関数のグラフをかきなさい\[ y=x^2-2|x| \]

今度は、全体ではなく $x$ の部分だけに絶対値がついています。このような場合には「折り返し」でグラフをかくことはできません。絶対値の中身に応じて場合分けをして考えていきます。

まず、 $x\geqq 0$ の場合は、絶対値の中身は0以上なので、次のように計算できます。
\begin{eqnarray} y &=& x^2-2|x| \\[5pt] &=& x^2-2x \\[5pt] &=& (x-1)^2-1 \\[5pt] \end{eqnarray}一方、 $x\lt 0$ の場合は、絶対値の中身は負なので、 $|x|=-x$ となります。なので、次のように計算できます。 \begin{eqnarray} y &=& x^2-2|x| \\[5pt] &=& x^2+2x \\[5pt] &=& (x+1)^2-1 \\[5pt] \end{eqnarray}これらをつなぎ合わせれば、 $y=x^2-2|x|$ のグラフになります。下のようになります。

絶対値のついた二次関数のグラフその３

例題3

次の関数のグラフをかきなさい\[ y=x|x-2| \]

似たような式ですが、絶対値のついている箇所がまた違います。この場合も、式全体に絶対値がついているわけではないので、場合分けをして考えていきます。

このケースでは、 $x\geqq 2$ と $x\lt 2$ で場合分けをして考えていけばいいですね。 $x\geqq 2$ のときは
\begin{eqnarray} y &=& x|x-2| \\[5pt] &=& x(x-2) \\[5pt] &=& (x-1)^2-1 \\[5pt] \end{eqnarray}と変形でき、 $x\lt 2$ のときは \begin{eqnarray} y &=& x|x-2| \\[5pt] &=& -x(x-2) \\[5pt] &=& -(x-1)^2+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。範囲に応じてグラフをかいてつなぎ合わせると、次のようなグラフになることがわかります。