【基本】区分ごとに定義された関数のグラフ

🕒 2020/07/03 🔄 2023/05/01

ここでは、区分ごとに定義された関数の例と、グラフのかき方を見ていきます。

📘 目次

区分ごとに定義された関数

下の図のような一辺が $4$ の正方形 ABCD があったとします。

今、点 P が頂点 B にいるとして、1秒間に $1$ の速さで、辺の上を通って、頂点 C, D, A の順に移動するとします。このときの、 $x$ 秒後の三角形 ABP の面積 $y$ について考えます。

ただし、点 P が A, B にいるときは、 $y=0$ とします。

上の動いている図を見てもわかる通り、状況に応じて三角形の面積の変化の仕方が変わることがわかります。点 P が辺 BC 上にいるときは面積は増え続けますが、 CD 上にいるときは面積は変わりません（形は変わっていますが）。辺 DA 上にいるときは面積は減り続け、最終的に $0$ になります。

このように状況に応じて変化の仕方が変わるので、 $x$ の値に応じて $y$ の表し方が変わってきます。場合を分けて、それぞれのケースで $y$ を $x$ の式で表してみましょう。

まず、点 P が辺 BC 上にいるときです。このようになるのは、 $0\leqq x\leqq 4$ のときですね。辺 AB を底辺と考えれば高さは $x$ なので、\[ y=\frac{4\times x}{2}=2x \]となります。この式は、点 P が頂点 B にいるときも成り立ちます。

次に、点 P が辺 CD 上にいるときを考えます。このようになるのは、 $4\leqq x\leqq 8$ のときです。辺 AB を底辺と考えれば高さは $4$ なので、\[ y=\frac{4\times 4}{2}=8 \]となります。 $x$ に関係なく、同じ値をとり続けます。

最後、点 P が辺 DA 上にいるときを考えます。このようになるのは、 $8\leqq x\leqq 12$ のときです。辺 AB を底辺と考えて高さを考えます。このときの高さは、線分 AP の長さです。

今まで移動してきた BC と CD と DP の和が $x$ だから DP の長さは $x-8$ なので、 AP の長さは $4-(x-8)=12-x$ となります。

こうして\[ y=\frac{4\times (12-x)}{2}=24-2x \]と表せることがわかります。点 P が頂点 A にいるとき、つまり $x=12$ のときは $y=0$ なので、この式は点 P が頂点 A にいるときも成り立ちます。

$x$ の値に応じて $y$ の表し方が異なるときは、次のようにかきます。
\begin{eqnarray} y = \begin{cases} 2x & ( 0\leqq x\lt 4 ) \\ 8 & ( 4\leqq x\lt 8 ) \\ 24-2x & ( 8\leqq x\leqq 12 ) \\ \end{cases} \end{eqnarray}このように、 $x$ の値によって表し方が異なるような関数を、区分的に定義された関数や区分的関数(piecewise function) などと呼ぶことがあります。高校数学では特に名前を付けて呼ぶことは少ないですが、こういう関数は今後よく登場します。

なお、区間は重複しないように書くのが一般的です（今のケースだと、 $x=4$ や $x=8$ の場合を重複させないように書く）。