【基本】関数(比例と反比例を使って)

ここでは、関数やそれに関連する用語を見ていきます。比例や反比例のところで見た内容を多く含みます。ここの内容で何かが解けるようになるわけではありませんが、いくつか重要な用語の説明が含まれています。

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変数と定数

【基本】比例を表す式【基本】反比例を表す式で、比例や反比例の式を見てきました。

リンク先では、「分速80mで $x$ 分間歩いたときの移動距離を $y$ m」としたとき、 $y=80x$ と表すことができ、 $y$ が $x$ に比例することを見ました。また、「横が $x$ cmで縦が $y$ cmの長方形の面積が $12\mathrm{cm}^2$ 」としたとき、 $y=\dfrac{12}{x}$ と表すことができ、 $y$ は $x$ に反比例することを見ました。

これらの $x$ や $y$ は、いろいろな値をとります。このような、いろいろな値をとりうる文字を、変数(variable) といいます。一方、上の例での80や12といった数は、コロコロ変わる値ではありません。このような、一定の数や、それを表す文字のことを、定数(constant) といいます。

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関数

上の比例の例では、 $x$ と $y$ はいろいろな値をとります。 $x$ 分は、10分でも15分でもいいし、 $y$ mは、100mでも200mでもいいですね。しかし、 $x$ と $y$ が、独立に、無関係に、いろいろな値をとる、というわけではありません。例えば、 $x=10$ とすると $y=800$ と決まるし、 $x=15$ とすると $y=1200$ となります。このように、変数 $x$ の値を決めると、変数 $y$ の値も1つに決まるとき、 $y$ は $x$ の関数(function) といいます。

関数
変数 $x$ の値を1つ決めると、変数 $y$ の値も1つに決まるとき、 $y$ は $x$ の関数という。

$y$ が $x$ に比例するとき、つまり、 $y=ax$ と書ける(a は比例定数)とき、 $x$ を決めれば、 $y$ は1つに決まります。そのため、 $y$ は $x$ の関数である、といえます。また、 $y$ が $x$ に反比例するとき、 $y=\dfrac{a}{x}$ と書ける(a は比例定数)ときも、 $x$ を決めれば、 $y$ は1つに決まります。そのため、このときも、 $y$ は $x$ の関数である、といえます。つまり、比例や反比例は、関数の例である、ということです。

関数の説明の中で重要なのは、「 $y$ の値が1つに決まる」という点です。1つに決まらない場合は、関数とは言いません。例えば、タクシーやバスや電車に乗ったときに、かかったお金を $x$ 円、移動距離を $y$ mとしてみましょう。これらに乗ったことがある人はわかると思いますが、距離が違っても、かかるお金は同じであることがあります。そのため、かかったお金がわかっても、移動距離が1つに決まるわけではありません。そのため、このときは、 $y$ は $x$ の関数にはなりません。

関数は、比例や反比例よりも、対象が広いです。半径が $x$ cmの円の面積を $y \mathrm{cm}^2$ とすると、 $y=\pi x^2$ と書けますが、これは比例や反比例ではありません。しかし、 $x$ を決めると $y$ は1つに決まるので、 $y$ は $x$ の関数といえます。

今後、様々な関数について学んでいくことになりますが、この学年では、その一例として、比例と反比例を学ぶ、ということです。

変域

先ほど、変数は、いろいろな値をとる文字だ、と書きましたが、問題によっては、値のとる範囲に制限がついている場合もあります。例えば、「分速80mで $x$ 分間歩いたときの移動距離を $y$ m」という状況で、4km離れた地点で歩くのをやめるとすると、 $x$ は、0以上50以下の値だけを考えればいいことになります。

このように、変数のとり得る値の範囲のことを、変域といいます。変域は、\[ 0\leqq x \leqq 50 \]というように、不等号を使って書くことが多いです。また、図で表すときは、【標準】比例のグラフで見たように、端を含む場合は黒丸で、含まない場合は白丸で表します。

おわりに

ここでは、比例や反比例で見た内容を使って、関数やそれに関連する用語を見てきました。関数の説明にある「 $x$ を決めれば $y$ がただ1つにきまる」の「ただ1つ」というのはポイントです。