【基本】数直線上の2点間の距離

🕒 2017/07/08 🔄 2023/05/01

ここでは、数直線上の2点間の距離について考えていきます。

📘 目次

数直線上のある点と原点との距離

【基本】絶対値での内容と被りますが、復習も兼ねてもう一度見ておきましょう。

直線上の点に実数を対応させたものを、数直線と呼びます。下のようなものです。

普通は、上のように左右に伸びる直線で表し、右に行くほど大きい数を表します。

$0$ を表す原点は O で表します。他の点については、数直線上の点 P が実数 p に対応しているとき、「 P の座標は p である」といい、 $\mathrm{P}(p)$ と表します。

$1$ も $-1$ も、原点からの距離はともに $1$ であり、同じ値ですね。このような「原点からの距離」は、絶対値を用いて表します。例えば、 $\mathrm{ P }(p)$ のとき、 OP の長さは次のように表します。\[ \mathrm{ OP } = |p| \]

図でかくと、次のようになります。

本来、距離の表し方は p の符号によって変わるのですが、絶対値があれば一つの表し方で済むので楽ですね。

数直線上の2点間の距離

ある点と原点との距離を見ましたが、原点以外の2点の場合、 $\mathrm{ A }(a)$ と $\mathrm{ B }(b)$ との距離について考えてみましょう。数直線上に2つの点をとって、考えてみましょう。

そうすると、やはりこの場合も、位置関係によって表し方が違ってくることに気づきます。

もし、 B のほうが右にある、つまり、 $a\lt b$ の場合は、 AB 間の距離は $b-a$ となります。一方、 A のほうが右にある場合は、 $a-b$ となります。少しわかりにくいかもしれませんが、\[ a-b = -(b-a) \]となっています。このことから、「AB 間の距離は、 $b-a$ が0以上ならそのまま、負ならマイナスをつけた値」ということができます。こういう表現をまとめて表す方法がありましたね。先ほど見た絶対値です。絶対値を使えば\[ \mathrm{ AB } = |b-a| \]と書くことができます。もちろん、 $|a-b|$ と書いても構いません。大小関係が明らかなときは、単に大きい方から小さい方を引いて求めることができます。

原点との距離に帰着させて考える

数直線上の2点間の距離は、上で見たように絶対値で表すことができました。このことについて、1つ目の「原点との距離」に絡めて考えてみましょう。

AB 間の距離を直接考えるのではなく、2点を移動して考えてみましょう。点 A が原点に来るように、移動してみます。これは式で言えば、「 $a$ を引く」ということですね。同じ方向に同じ距離だけ移動させても、2点間の距離は変わりません。

この移動により、点 $\mathrm{ B }(b)$ は別の点 $\mathrm{ B }'$ に移るとしましょう。移動後の点の座標は $b-a$ となっています。

先ほどの図も、点 A が原点に来るようにずらしてみました。 AB 間の距離は、 $\mathrm{ OB' }$ 間の距離と等しいですね。これは原点と $\mathrm{ B }' (b-a)$ との距離です。原点との距離は絶対値で表現できるので、結局、2点間の距離は $|b-a|$ となる、ということです。