東京大学 理系 2023年度 第2問 解説
問題編
問題
黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。
考え方
(1)の「隣り合わないように並べる」は、よくある問題です。ただ、(2)のように、赤も隣り合わなくて黒も隣り合わない、というのはめずらしいです。(1)の場合よりも状況が複雑になります。(1)のどの部分が利用できて、どの部分が違うのかをよく考えましょう。
解答編
問題
黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求めよ。
解答
どの赤玉も隣り合わない並べ方が何通りあるかを考える。
このような並べ方に対して、赤玉をすべて取り除くと、黒玉3個と白玉5個が一列に並ぶ。この並べ方は ${}_{8}\mathrm{C}_3$ 通りある。
赤玉は隣り合わないので、並べた8個の間、または、前後の9つの場所のうち4つを選んで赤玉を1つずつ並べることになる。よって、並べ方の総数は、\[ {}_{8}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4 \]通りである。
一方、12個の玉の並べ方は\[ {}_{12}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4 \]通りであり、どの並べ方になるかは同様に確からしいので、求める確率 $p$ は
\begin{eqnarray}
p
&=&
\frac{ {}_{8}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4}{ {}_{12}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4} \\[5pt]
&=&
\frac{8\cdot 7\cdot 6}{12\cdot 11\cdot 10} \\[5pt]
&=&
\frac{14}{55} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。（答）
解答編 つづき
問題
(2) どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ。
解答
どの赤玉も、どの黒玉も隣り合わない並べ方が何通りあるかを考える。
このような並べ方に対して、赤玉をすべて取り除くとする。このとき、黒玉3個が白玉によってどのように分割されているかに着目すると、次の3つの場合があり、これらには重複はない。
(a) 1個、1個、1個
(b) 2個、1個
(c) 3個
以下では、それぞれの場合について、並べ方が何通りあるかを考える。
(a) 1個、1個、1個 の場合
白玉を5個並べ、その間・前後の計6個の場所から3個を選び、黒玉を1つずつ並べる。次に、赤玉は、この8個の玉の間・前後の計9個の場所から4個を選び、赤玉を1つずつ並べる。このように並べればいいので、並べ方は\[ {}_{6}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4 \]通りである。
(b) 2個、1個 の場合
白玉を5個並べ、その間・前後の計6個の場所から、黒玉2個を入れる場所と、黒玉1個を入れる場所を選び、黒玉を並べる。このような並べ方は $6\cdot 5$ 通りである。
次に、赤玉は、この8個の玉の間・前後の計9個の場所に対し、まず黒玉2個の間に赤玉を1つ入れ、残り8個の場所から3個を選び、赤玉を1つずつ並べる。このように並べればいいので、並べ方は\[ 6\cdot 5\cdot {}_{8}\mathrm{C}_3 \]通りである。
(c) 3個 の場合
白玉を5個並べ、その間・前後の計6個の場所から、黒玉3個を入れる場所を選び、黒玉を並べる。このような並べ方は $6$ 通りである。
次に、赤玉は、この8個の玉の間・前後の計9個の場所に対し、まず黒玉3個の間に赤玉を1つずつ、合計2つ入れ、残り7個の場所から2個を選び、赤玉を1つずつ並べる。このように並べればいいので、並べ方は\[ 6\cdot {}_{7}\mathrm{C}_2 \]通りである。
以上から、どの赤玉も、どの黒玉も隣り合わない並べ方は
\begin{eqnarray}
& &
{}_{6}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4
+6\cdot 5\cdot {}_{8}\mathrm{C}_3
+6\cdot {}_{7}\mathrm{C}_2 \\[5pt]
&=&
\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}
+6\cdot 5\cdot \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}
+6\cdot \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1} \\[5pt]
&=&
20 \cdot 126
+30\cdot 56
+6\cdot 21 \\[5pt]
\end{eqnarray}通りとなる。
一方、どの赤玉も隣り合わない並べ方は、(1)より
\begin{eqnarray}
& &
{}_{8}\mathrm{C}_3 \cdot {}_{9}\mathrm{C}_4 \\[5pt]
&=&
\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}
&=&
56 \cdot 126 \\[5pt]
\end{eqnarray}通りなので、求める確率は
\begin{eqnarray}
q &=&
\frac{20 \cdot 126 +30\cdot 56 +6\cdot 21}{56 \cdot 126} \\[5pt]
&=&
\frac{20 \cdot 18 +30\cdot 8 +6\cdot 3}{56 \cdot 18} \\[5pt]
&=&
\frac{20 \cdot 6 +10\cdot 8 +6\cdot 1}{56 \cdot 6} \\[5pt]
&=&
\frac{10 \cdot 6 +10\cdot 4 +3}{56 \cdot 3} \\[5pt]
&=&
\frac{60 +40 +3}{168} \\[5pt]
&=&
\frac{103}{168} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。（答）
解説
「赤も隣り合わず、黒も隣り合わない」の場合は(1)ほど単純ではありません。
白を並べて、その間・前後に黒を1個ずつ並べて、その間・前後に赤を1個ずつ並べる、としてしまうと、次のようなケースが漏れてしまいます。
白黒赤黒白白赤白赤黒赤白赤
「黒赤黒」のような部分は、赤も隣り合わないし、黒も隣り合わないのですが、このような並べ方が漏れてしまうわけですね。解答では、このケースは(b)の「2個、1個」の場合に計上されています。
