東京大学 理系 2006年度後期 第2問 解説

問題編

【問題】
　aを正の実数、$\theta$を$\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする。xyz空間において、点$(a,0,0)$と点$(a+\cos \theta,0,\sin\theta)$を結ぶ線分を、x軸のまわりに1回転させてできる曲面をSとする。さらに、Sをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする。
　次の問に答えよ。

(1) Vをaと$\theta$を用いて表せ。

(2) $a=4$とする。Vを$\theta$の関数と考えて、Vの最大値を求めよ。

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【考え方】
2回も回転するので面倒ですが、基本的には「平面$y=t$で切った断面積を積分する」という方針でいきます。Sを平面$y=t$で切った断面の形は気にする必要はなく、y軸から一番近い点と遠い点さえわかればOKです。あとはドーナツ型の断面を使って、積分すれば(1)は出ます。

(1)が求められれば、(2)はおまけみたいな問題です。