東京大学 文系 2024年度 第2問 解説
問題編
問題
以下の問いに答えよ。必要ならば、 $0.3\lt \log_{10} 2\lt 0.31$ であることを用いてよい。
(1) $5^n\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。
(2) $5^m+4^m\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ。
考え方
(1)はよくある問題です。
(2)は、$5^m$ に比べて $4^m$ はすごく小さいので、(1)の答えとほとんど近い答えになると予想できます。あとはこの予想に基づいて、それぞれがどれくらいの大きさかを調べるといいでしょう。
解答編
問題
以下の問いに答えよ。必要ならば、 $0.3\lt \log_{10} 2\lt 0.31$ であることを用いてよい。
(1) $5^n\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。
解答
(1)
\begin{eqnarray} & & 5^n\gt 10^{19} \\[5pt] &\iff& \log_{10} 5^n \gt \log_{10} 10^{19} \\[5pt] &\iff& n(1-\log_{10} 2) \gt 19 \\[5pt] &\iff& n \gt \frac{19}{1-\log_{10} 2} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、 \begin{eqnarray} \frac{19}{1-0.3}=\frac{19}{0.7}=27.1\cdots \\[5pt] \frac{19}{1-0.31}=\frac{19}{0.69}=27.5\cdots \\[5pt] \end{eqnarray}なので\[ 27.1 \lt \frac{19}{1-\log_{10} 2} \lt 27.6 \]である。よって、 $5^n\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ は $28$ …（答）解答編 つづき
問題
(2) $5^m+4^m\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ。
解答
(2)
(1)より、 $5^{28}+4^{28}\gt 10^{19}$ が成り立つ。また、 $5^{27}\lt 10^{19}$ も成り立つ。
まず、 $5^{27}$ については
\begin{eqnarray}
\log_{10} 5^{27}
&=&
27\log_{10} 5 \\[5pt]
&=&
27(1-\log_{10} 2) \\[5pt]
&\lt&
27 \cdot 0.7 \\[5pt]
&=&
18.9 \\[5pt]
&=&
18+3\cdot 0.3 \\[5pt]
&\lt&
18+3\log_{10} 2 \\[5pt]
&\lt&
18+\log_{10} 8 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $5^{27}\lt 8\cdot10^{18}$ が成り立つ。
一方、 $4^{27}$ については
\begin{eqnarray}
\log_{10} 4^{27} &=& 54\log_{10}2 \\[5pt]
&\lt& 54\cdot0.31=16.74
\end{eqnarray}なので、 $4^{27}\lt 10^{17}$ が成り立つ。
以上から
\begin{eqnarray}
5^{27}+4^{27}
\lt
8\cdot 10^{18}+10^{17} \lt 10^{19}
\end{eqnarray}となるので、$5^m+4^m\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $m$ は $28$ …（答）
