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東京大学 文系 2006年度 第4問 解説

問題編

【問題】
 $\theta$は、$0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}$の範囲の角度を表す定数とする。$-1\leqq x \leqq 1$の範囲で、関数$f(x) = |x+1|^3 +|x-\cos 2\theta|^3 +|x-1|^3$が最小値をとるときの変数xの値を、$\cos\theta$で表せ。

【考え方】
問題をパッと見た段階では、絶対値が3つも入っていて場合分けが大変そう、という印象を受けます。しかし、範囲が限定されているので、見た目ほど大変ではありません。1つ目と3つ目の絶対値は、場合分けをすることなく外すことができます。

2つ目の絶対値は、通常であれば、場合分けをして外さないといけません。しかし、今の場合は「最小値をとるときのx」だけを考えればいいので、場合分けをしなくても計算することはできます。

$f(x)$の中に$\cos 2\theta$が入っているので、どこかで倍角の公式を使うというのもヒントになっています。


解答編

【問題】
 $\theta$は、$0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}$の範囲の角度を表す定数とする。$-1\leqq x \leqq 1$の範囲で、関数$f(x) = |x+1|^3 +|x-\cos 2\theta|^3 +|x-1|^3$が最小値をとるときの変数xの値を、$\cos\theta$で表せ。

【解答】
$-1\leqq x \leqq 1$の範囲では、
\begin{eqnarray} |x+1|^3 +|x-1|^3 &=& (x+1)^3 +(1-x)^3 \\ &=& (x^3+3x^2+3x+1) \\ & & +(-x^3+3x^2-3x+1) \\ &=& 6x^2 +2 \end{eqnarray}となる。これは、$x\leqq 0$の範囲で単調減少、$x\geqq 0$の範囲で単調増加である。

また、$y=|x-\cos 2\theta|^3$のグラフは$y=|x|^3$のグラフを$x$軸方向に$\cos 2\theta$移動したものであるから、$x\leqq \cos 2\theta$の範囲で単調減少、$x\geqq \cos 2\theta$の範囲で単調増加である。

以上から、$f(x)$の最小値をとるときの$x$の値は、$0$以上 $\cos 2\theta$以下となる($0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}$なので、$\cos 2\theta$は正である)。

$0 \leqq x \leqq \cos 2\theta$のとき、$f(x)$は
\begin{eqnarray} f(x) &=& (\cos 2\theta -x)^3 +6x^2 +2 \\ &=& -x^3 +3(\cos 2\theta)x^2 -3(\cos^2 2\theta)x +\cos^3 2\theta +6x^2 +2 \\ &=& -x^3 +3(\cos 2\theta +2) x^2 -3(\cos^2 2\theta)x +\cos^3 2\theta +2 \\ \end{eqnarray}となるので、 \begin{eqnarray} f'(x) &=& -3x^2 +6(\cos 2\theta +2)x -3\cos^2 2\theta \\ &=& -3 \left\{ x^2 -2(\cos 2\theta +2)x +\cos^2 2\theta \right\} \\ \end{eqnarray}となる。

よって、$f'(x)=0$の解は
\begin{eqnarray} x &=& \cos 2\theta +2 \pm \sqrt{ (\cos 2\theta +2)^2 - \cos^2 2\theta } \\ &=& \cos 2\theta +2 \pm \sqrt{ 4\cos 2\theta +4 } \\ &=& (2\cos^2\theta -1) +2 \pm 2\sqrt{ (2\cos^2\theta -1) +1 } \\ &=& 2\cos^2\theta +1 \pm 2\sqrt{ 2 } \cos\theta \quad\cdots (A) \\ &=& ( \sqrt{ 2 } \cos\theta \pm 1 )^2 \\ \end{eqnarray}となる(複合同順。また、(A)では、$\cos\theta$が正であることを用いた)。

ここで、$\sqrt{ 2 } \cos\theta +1 \gt 1$なので、$(\sqrt{ 2 } \cos\theta + 1)^2$は$\cos 2\theta$以下となることはない。

一方、$( \sqrt{ 2 } \cos\theta -1 )^2$については、(A)を使って
\begin{eqnarray} & & \cos 2\theta -(2\cos^2\theta +1 -2\sqrt{ 2 } \cos\theta) \\ &=& (2\cos^2\theta -1) -2\cos^2\theta -1 +2\sqrt{ 2 } \cos\theta \\ &=& 2\sqrt{ 2 } \cos\theta -2 \\ &=& 2\sqrt{ 2 } \left(\cos\theta -\frac{1}{\sqrt{2} }\right) \\ \end{eqnarray}であり、$0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}$だからこの値は正である。よって、$0 \leqq ( \sqrt{ 2 } \cos\theta -1 )^2 \leqq \cos 2\theta$がなりたつ。

以上から、$0 \leqq x \leqq \cos 2\theta$の範囲での増減表は次の通りとなる。
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & ( \sqrt{ 2 } \cos\theta -1 )^2 & \cdots & \cos 2\theta \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \searrow & & \nearrow & \end{array}

よって、$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値は、$( \sqrt{ 2 } \cos\theta -1 )^2$となる。

【解答終】

【解説】
序盤で、「$0 \leqq x \leqq \cos 2\theta$の範囲だけを考えればいい」ことを示していますが、これがなければ、$|x-\cos2\theta|$の絶対値は場合分けをして外さなければいけません。ただ、この範囲以外で最小値をとらないことはすぐに分かるので、省略できる計算は省略した方がいいでしょう。

$\cos$が入っていると計算しにくいので、別の文字で置き換えて計算してもいいですね。ただ、途中で倍角の公式も使うので、どこかのタイミングで$\cos$に戻さないといけません。別の文字で置き換えると、倍角の公式に気づきにくくなる可能性がありますね。

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