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共通テスト 数学II・数学B 2024年度 第5問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に4点 $\mathrm{A}(2,7,-1)$, $\mathrm{B}(3,6,0)$, $\mathrm{C}(-8,10,-3)$, $\mathrm{D}(-9,8,-4)$ がある。 $\mathrm{A,B}$ を通る直線を $\ell_1$ とし、$\mathrm{C,D}$ を通る直線を $\ell_2$ とする。

(1) \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\myBox{ア},\ \myBox{イウ},\ \myBox{エ} \right) \]であり、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\myBox{オ}$ である。

(2) 花子さんと太郎さんは、点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動くとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ が最小となる $\mathrm{P}$ の位置について考えている。

 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上にあるので、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を満たす実数 $s$ があり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dBox{カ}$ が成り立つ。

 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となる $s$ の値を求めれば $\mathrm{P}$ の位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎さんが話をしている。

花子: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ が最小となる $s$ の値を求めればよいね。
太郎: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるときの直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目してもよさそうだよ。

 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=\myBox{キ}s^2-\myBox{クケ}s+\myBox{コサ}$ である。

 また、 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるとき、直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目すると $\dBox{シ}$ が成り立つことがわかる。

 花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、 $s=\myBox{ス}$ のとき $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となることがわかる。

 $\dbox{カ}$ の解答群

 0: $s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

 1: $s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

 2: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

 3: $(1-2s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

 4: $(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

 $\dbox{シ}$ の解答群

 0: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \gt 0$

 1: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0$

 2: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \lt 0$

 3: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$

 4: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$

 5: $\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$

 6: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$

(3) 点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動き、点 $\mathrm{Q}$ が $\ell_2$ 上を動くとする。このとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さが最小になる $\mathrm{P}$ の座標は $\left(\myBox{セソ},\myBox{タチ},\myBox{ツテ}\right)$, $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(\myBox{トナ},\myBox{ニヌ},\myBox{ネノ}\right)$ である。

考え方

(2)では2通りの方法が紹介されますが、どちらかがとても簡単に解けるというわけではないので、どちらの方法で解いてもかまいません。

(3)は(2)を参考にして解くといいでしょう。どちらで解いても、わりと計算量があります。


【第3問~第5問から2問選択】

解答編

問題

 点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に4点 $\mathrm{A}(2,7,-1)$, $\mathrm{B}(3,6,0)$, $\mathrm{C}(-8,10,-3)$, $\mathrm{D}(-9,8,-4)$ がある。 $\mathrm{A,B}$ を通る直線を $\ell_1$ とし、$\mathrm{C,D}$ を通る直線を $\ell_2$ とする。

(1) \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\myBox{ア},\ \myBox{イウ},\ \myBox{エ} \right) \]であり、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\myBox{オ}$ である。

解説

(1)
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& (3,6,0)-(2,7,-1) \\[5pt] &=& (1,-1,1) \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{CD}} &=& (-9,8,-4)-(-8,10,-3) \\[5pt] &=& (-1,-2,-1) \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} &=& 1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)+1\cdot(-1) \\[5pt] &=& -1+2-1 \\[5pt] &=& 0 \end{eqnarray}となります。

解答

アイウエ:1-11 (2点)
オ:0 (2点)

解答編 つづき

問題

(2) 花子さんと太郎さんは、点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動くとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ が最小となる $\mathrm{P}$ の位置について考えている。

 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上にあるので、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を満たす実数 $s$ があり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dBox{カ}$ が成り立つ。

 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となる $s$ の値を求めれば $\mathrm{P}$ の位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎さんが話をしている。

花子: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ が最小となる $s$ の値を求めればよいね。
太郎: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるときの直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目してもよさそうだよ。

 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=\myBox{キ}s^2-\myBox{クケ}s+\myBox{コサ}$ である。

 また、 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるとき、直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目すると $\dBox{シ}$ が成り立つことがわかる。

 花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、 $s=\myBox{ス}$ のとき $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となることがわかる。

 $\dbox{カ}$ の解答群

 0: $s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

 1: $s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

 2: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

 3: $(1-2s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

 4: $(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

 $\dbox{シ}$ の解答群

 0: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \gt 0$

 1: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0$

 2: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \lt 0$

 3: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$

 4: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$

 5: $\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$

 6: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$

解説

(2)
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}} \\[5pt] &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これを成分で書くと \begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& (2,7,-1)+s(1,-1,1) \\[5pt] &=& (2+s,7-s,-1+s) \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、 \begin{eqnarray} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 &=& (2+s)^2+(7-s)^2+(-1+s)^2 \\[5pt] &=& s^2+4s+4+s^2-14s+49+s^2-2s+1 \\[5pt] &=& 3s^2-12s+54 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるとき、直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ とは垂直なので、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は垂直、つまり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ が成り立つことがわかります。

前者の考えを使えば、\[ 3s^2-12s+54=3(s-2)^2+42 \]なので、 $s=2$ のときに $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となることがわかります。

解答

カ:2 (3点)
キクケコサ:31254 (3点)
シ:1 (3点)
ス:2 (3点)

解答編 つづき

問題

(3) 点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動き、点 $\mathrm{Q}$ が $\ell_2$ 上を動くとする。このとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さが最小になる $\mathrm{P}$ の座標は $\left(\myBox{セソ},\myBox{タチ},\myBox{ツテ}\right)$, $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(\myBox{トナ},\myBox{ニヌ},\myBox{ネノ}\right)$ である。

解説

(3)
(2)と同様にして、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を満たす実数 $s$ と、 $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{CD}}$ を満たす実数 $t$ があるので、これらを使って考えます。

(2)の花子さんの考え方でも太郎さんの考え方でも、どちらで求めることもできますが、ここでは花子さんの考え方で求めます。
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& (2,7,-1)+s(1,-1,1) \\[5pt] &=& (2+s,7-s,-1+s) \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& (-8,10,-3)+t(-1,-2,-1) \\[5pt] &=& (-8-t,10-2t,-3-t) \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{QP}} \\[5pt] &=& (2+s,7-s,-1+s)-(-8-t,10-2t,-3-t) \\[5pt] &=& (s+t+10,-s+2t-3,s+t+2) \end{eqnarray}となります($s,t$ の係数が正となるものが多くなるように、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ではなく、$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ を計算しています)。このことから、 \begin{eqnarray} & & |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 \\[5pt] &=& (s+t+10)^2+(-s+2t-3)^2+(s+t+2)^2 \\[5pt] &=& s^2+t^2+100+2st+20s+20t \\ & & +s^2+4t^2+9-4st+6s-12t \\ & & +s^2+t^2+4+2st+4s+4t \\[5pt] &=& 3s^2+6t^2+113+30s+12t \\[5pt] &=& 3(s+5)^2-75+6(t+1)^2-6+113 \end{eqnarray}となるので、 $s=-5$ かつ $t=-1$ のときに最小となることがわかります。

$s=-5$ のとき\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(-3,12,-6)\]であり、 $t=-1$ のとき\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(-7,12,-2) \]なので、 $\mathrm{P}$ の座標は $(-3,12,-6)$、$\mathrm{Q}$ の座標は $(-7,12,-2)$ と求められます。

解答

セソタチツテトナニヌネノ:-312-6-712-2 (4点)

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