共通テスト 数学II・数学B 2024年度 第5問 解説
【第3問～第5問から2問選択】
問題編
問題
点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に4点 $\mathrm{A}(2,7,-1)$, $\mathrm{B}(3,6,0)$, $\mathrm{C}(-8,10,-3)$, $\mathrm{D}(-9,8,-4)$ がある。 $\mathrm{A,B}$ を通る直線を $\ell_1$ とし、$\mathrm{C,D}$ を通る直線を $\ell_2$ とする。
(1) \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\myBox{ア},\ \myBox{イウ},\ \myBox{エ} \right) \]であり、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\myBox{オ}$ である。
(2) 花子さんと太郎さんは、点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動くとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ が最小となる $\mathrm{P}$ の位置について考えている。
$\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上にあるので、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を満たす実数 $s$ があり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dBox{カ}$ が成り立つ。
$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となる $s$ の値を求めれば $\mathrm{P}$ の位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎さんが話をしている。
花子: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ が最小となる $s$ の値を求めればよいね。
太郎: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるときの直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目してもよさそうだよ。$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=\myBox{キ}s^2-\myBox{クケ}s+\myBox{コサ}$ である。
また、 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるとき、直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目すると $\dBox{シ}$ が成り立つことがわかる。
花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、 $s=\myBox{ス}$ のとき $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となることがわかる。
$\dbox{カ}$ の解答群
0: $s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
1: $s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
2: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
3: $(1-2s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
4: $(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$\dbox{シ}$ の解答群
0: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \gt 0$
1: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0$
2: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \lt 0$
3: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
4: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$
5: $\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$
6: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
(3) 点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動き、点 $\mathrm{Q}$ が $\ell_2$ 上を動くとする。このとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さが最小になる $\mathrm{P}$ の座標は $\left(\myBox{セソ},\myBox{タチ},\myBox{ツテ}\right)$, $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(\myBox{トナ},\myBox{ニヌ},\myBox{ネノ}\right)$ である。
考え方
(2)では2通りの方法が紹介されますが、どちらかがとても簡単に解けるというわけではないので、どちらの方法で解いてもかまいません。
(3)は(2)を参考にして解くといいでしょう。どちらで解いても、わりと計算量があります。
【第3問～第5問から2問選択】
解答編
問題
点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に4点 $\mathrm{A}(2,7,-1)$, $\mathrm{B}(3,6,0)$, $\mathrm{C}(-8,10,-3)$, $\mathrm{D}(-9,8,-4)$ がある。 $\mathrm{A,B}$ を通る直線を $\ell_1$ とし、$\mathrm{C,D}$ を通る直線を $\ell_2$ とする。
(1) \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\myBox{ア},\ \myBox{イウ},\ \myBox{エ} \right) \]であり、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\myBox{オ}$ である。
解説
(1)
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}}
&=&
(3,6,0)-(2,7,-1) \\[5pt]
&=&
(1,-1,1) \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{CD}}
&=&
(-9,8,-4)-(-8,10,-3) \\[5pt]
&=&
(-1,-2,-1) \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}
&=&
1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)+1\cdot(-1) \\[5pt]
&=&
-1+2-1 \\[5pt]
&=&
0
\end{eqnarray}となります。
解答
アイウエ：1-11 (2点)
オ：0 (2点)
解答編 つづき
問題
(2) 花子さんと太郎さんは、点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動くとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ が最小となる $\mathrm{P}$ の位置について考えている。
$\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上にあるので、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を満たす実数 $s$ があり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dBox{カ}$ が成り立つ。
$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となる $s$ の値を求めれば $\mathrm{P}$ の位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎さんが話をしている。
花子: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ が最小となる $s$ の値を求めればよいね。
太郎: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるときの直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目してもよさそうだよ。$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=\myBox{キ}s^2-\myBox{クケ}s+\myBox{コサ}$ である。
また、 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるとき、直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ の関係に着目すると $\dBox{シ}$ が成り立つことがわかる。
花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、 $s=\myBox{ス}$ のとき $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となることがわかる。
$\dbox{カ}$ の解答群
0: $s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
1: $s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
2: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
3: $(1-2s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
4: $(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$\dbox{シ}$ の解答群
0: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \gt 0$
1: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0$
2: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \lt 0$
3: $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
4: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$
5: $\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$
6: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
解説
(2)
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
&=&
\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}} \\[5pt]
&=&
\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これを成分で書くと
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
&=&
(2,7,-1)+s(1,-1,1) \\[5pt]
&=&
(2+s,7-s,-1+s) \\[5pt]
\end{eqnarray}となるので、
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2
&=&
(2+s)^2+(7-s)^2+(-1+s)^2 \\[5pt]
&=&
s^2+4s+4+s^2-14s+49+s^2-2s+1 \\[5pt]
&=&
3s^2-12s+54 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
また、 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となるとき、直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell_1$ とは垂直なので、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は垂直、つまり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ が成り立つことがわかります。
前者の考えを使えば、\[ 3s^2-12s+54=3(s-2)^2+42 \]なので、 $s=2$ のときに $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ が最小となることがわかります。
解答
カ：2 (3点)
キクケコサ：31254 (3点)
シ：1 (3点)
ス：2 (3点)
解答編 つづき
問題
(3) 点 $\mathrm{P}$ が $\ell_1$ 上を動き、点 $\mathrm{Q}$ が $\ell_2$ 上を動くとする。このとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さが最小になる $\mathrm{P}$ の座標は $\left(\myBox{セソ},\myBox{タチ},\myBox{ツテ}\right)$, $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(\myBox{トナ},\myBox{ニヌ},\myBox{ネノ}\right)$ である。
解説
(3)
(2)と同様にして、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を満たす実数 $s$ と、 $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{CD}}$ を満たす実数 $t$ があるので、これらを使って考えます。
(2)の花子さんの考え方でも太郎さんの考え方でも、どちらで求めることもできますが、ここでは花子さんの考え方で求めます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
&=&
(2,7,-1)+s(1,-1,1) \\[5pt]
&=&
(2+s,7-s,-1+s)
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
&=&
(-8,10,-3)+t(-1,-2,-1) \\[5pt]
&=&
(-8-t,10-2t,-3-t)
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \\[5pt]
&=&
(2+s,7-s,-1+s)-(-8-t,10-2t,-3-t) \\[5pt]
&=&
(s+t+10,-s+2t-3,s+t+2)
\end{eqnarray}となります（$s,t$ の係数が正となるものが多くなるように、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ではなく、$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ を計算しています）。このことから、
\begin{eqnarray}
& &
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 \\[5pt]
&=&
(s+t+10)^2+(-s+2t-3)^2+(s+t+2)^2 \\[5pt]
&=&
s^2+t^2+100+2st+20s+20t \\
& & +s^2+4t^2+9-4st+6s-12t \\
& & +s^2+t^2+4+2st+4s+4t \\[5pt]
&=&
3s^2+6t^2+113+30s+12t \\[5pt]
&=&
3(s+5)^2-75+6(t+1)^2-6+113
\end{eqnarray}となるので、 $s=-5$ かつ $t=-1$ のときに最小となることがわかります。
$s=-5$ のとき\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(-3,12,-6)\]であり、 $t=-1$ のとき\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(-7,12,-2) \]なので、 $\mathrm{P}$ の座標は $(-3,12,-6)$、$\mathrm{Q}$ の座標は $(-7,12,-2)$ と求められます。
解答
セソタチツテトナニヌネノ：-312-6-712-2 (4点)
