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共通テスト 数学II・数学B 2024年度 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 $S(x)$ を $x$ の2次式とする。 $x$ の整式 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商を $T(x)$、余りを $U(x)$ とする。ただし、 $S(x)$ と $P(x)$ の係数は実数であるとする。

(1) $P(x)=2x^3+7x^2+10x+5$, $S(x)=x^2+4x+7$ の場合を考える。

 方程式 $S(x)=0$ の解は $x=\myBox{コサ}\pm\sqrt{\myBox{シ}}i$ である。

 また、 $T(x)=\myBox{ス}x-\myBox{セ}$, $U(x)=\myBox{ソタ}$ である。

(2) 方程式 $S(x)=0$ は異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとする。このとき
 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。

(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。

 仮定から、定数 $k$ を用いて $U(x)=k$ とおける。このとき、 $\dBox{チ}$ 。したがって、余りが定数になるとき、 $\dBox{ツ}$ が成り立つ。

 $\dbox{チ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる

 1: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる

 2: $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる

 3: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる

 $\dbox{ツ}$ の解答群

 0: $T(\alpha)=T(\beta)$
 1: $P(\alpha)=P(\beta)$
 2: $T(\alpha)\ne T(\beta)$
 3: $P(\alpha)\ne P(\beta)$

(ii) 逆に $\dbox{ツ}$ が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。

 $S(x)$ が2次式であるから、$m,n$ を定数として $U(x)=mx+n$ とおける。 $P(x)$ を $S(x),T(x),m,n$ を用いて表すと、 $P(x)=\dBox{テ}$ となる。この等式の $x$ に $\alpha,\beta$ をそれぞれ代入すると $\dBox{ト}$ となるので、 $\dbox{ツ}$ と $\alpha\ne\beta$ より $\dBox{ナ}$ となる。以上から余りが定数になることがわかる。

 $\dbox{テ}$ の解答群

 0: $(mx+n)S(x)T(x)$
 1: $S(x)T(x)+mx+n$
 2: $(mx+n)S(x)+T(x)$
 3: $(mx+n)T(x)+S(x)$

 $\dbox{ト}$ の解答群

 0: $P(\alpha)=T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=T(\beta)$
 1: $P(\alpha)=m\alpha+n$ かつ $P(\beta)=m\beta+n$
 2: $P(\alpha)=(m\alpha+n)T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=(m\beta+n)T(\beta)$
 3: $P(\alpha)=P(\beta)=0$
 4: $P(\alpha)\ne 0$ かつ $P(\beta)\ne 0$

 $\dbox{ナ}$ の解答群

 0: $m\ne 0$
 1: $m\ne 0$ かつ $n=0$
 2: $m\ne 0$ かつ $n\ne 0$
 3: $m=0$
 4: $m=n=0$
 5: $m=0$ かつ $n\ne 0$
 6: $n=0$
 7: $n\ne 0$

 (i), (ii)の考察から、方程式 $S(x)=0$ が異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとき、 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になることと $\dbox{ツ}$ であることは同値である。

(3) $p$ を定数とし、 $P(x)=x^{10}-2x^9-px^2-5x$, $S(x)=x^2-x-2$ の場合を考える。 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になるとき、 $p=\myBox{ニヌ}$ となり、その余りは $\myBox{ネノ}$ となる。

考え方

複素数も少しだけ出てきますが、メインは、式を式で割った余りの問題です。抽象的な問題に慣れていないと少し難しいかもしれません。考えづらい場合は、(1)の計算結果などを利用しながら考えてみるといいでしょう。

(3)は(2)を使った応用問題です。(2)では、直接割り算をしなくても求められる条件を求めていました。これを利用すれば、実際に、割り算をすることなく、余りを求めることができます。


【必答問題】

解答編

問題

 $S(x)$ を $x$ の2次式とする。 $x$ の整式 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商を $T(x)$、余りを $U(x)$ とする。ただし、 $S(x)$ と $P(x)$ の係数は実数であるとする。

(1) $P(x)=2x^3+7x^2+10x+5$, $S(x)=x^2+4x+7$ の場合を考える。

 方程式 $S(x)=0$ の解は $x=\myBox{コサ}\pm\sqrt{\myBox{シ}}i$ である。

 また、 $T(x)=\myBox{ス}x-\myBox{セ}$, $U(x)=\myBox{ソタ}$ である。

解説

(1)
$x^2+4x+7=0$ を解くと、
\begin{eqnarray} x &=& \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2} \\[5pt] &=& -2\pm\sqrt{4-7} \\[5pt] &=& -2\pm\sqrt{3} i \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また
\begin{eqnarray} & & 2x^3+7x^2+10x+5 \\[5pt] &=& 2x(x^2+4x+7)-x^2-4x+5 \\[5pt] &=& (2x-1)(x^2+4x+7)+12 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、商 $T(x)$ は $2x-1$ で、余り $U(x)$ は $12$ となります。

解答

コサシ:-23 (2点)
スセ:21 (2点)
ソタ:12 (1点)

解答編 つづき

問題

(2) 方程式 $S(x)=0$ は異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとする。このとき
 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。

(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。

 仮定から、定数 $k$ を用いて $U(x)=k$ とおける。このとき、 $\dBox{チ}$ 。したがって、余りが定数になるとき、 $\dBox{ツ}$ が成り立つ。

 $\dbox{チ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる

 1: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる

 2: $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる

 3: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる

 $\dbox{ツ}$ の解答群

 0: $T(\alpha)=T(\beta)$
 1: $P(\alpha)=P(\beta)$
 2: $T(\alpha)\ne T(\beta)$
 3: $P(\alpha)\ne P(\beta)$

解説

(2)
(i)
$S(x)$ は2次式、 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商が $T(x)$ で余りが $U(x)$ です。 $S(x)=0$ が異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつときに、「 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になること」と同値な条件を考えます。

余りが定数となるときに、それぞれの選択肢について考えます。

選択肢 0 と 1 は、どちらも $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が導かれる、という結論になっていますが、これが導けるのは $\alpha,\beta$ が $S(x)=0$ の解だからです。なので、理由と結論があっていないのでどちらも不適です。

選択肢 2 は、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ から $P(x)=S(x)T(x)+k$ が導ける、となっていますが、これが導けるのは、 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの余りが $k$ だからです。理由と結論があってないので不適です。

選択肢 3 は、余りに関する条件から $P(x)=S(x)T(x)+k$ が成り立つことがわかり、解の条件から $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことがわかり、前者に $x=\alpha$ や $x=\beta$ を代入すれば $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が導けるので、これが適当だとわかります。

これにより、 $P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つことがわかります。

解答

チ:3 (3点)
ツ:1 (1点)

解答編 つづき

問題

(ii) 逆に $\dbox{ツ}$ が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。

 $S(x)$ が2次式であるから、$m,n$ を定数として $U(x)=mx+n$ とおける。 $P(x)$ を $S(x),T(x),m,n$ を用いて表すと、 $P(x)=\dBox{テ}$ となる。この等式の $x$ に $\alpha,\beta$ をそれぞれ代入すると $\dBox{ト}$ となるので、 $\dbox{ツ}$ と $\alpha\ne\beta$ より $\dBox{ナ}$ となる。以上から余りが定数になることがわかる。

 $\dbox{テ}$ の解答群

 0: $(mx+n)S(x)T(x)$
 1: $S(x)T(x)+mx+n$
 2: $(mx+n)S(x)+T(x)$
 3: $(mx+n)T(x)+S(x)$

 $\dbox{ト}$ の解答群

 0: $P(\alpha)=T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=T(\beta)$
 1: $P(\alpha)=m\alpha+n$ かつ $P(\beta)=m\beta+n$
 2: $P(\alpha)=(m\alpha+n)T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=(m\beta+n)T(\beta)$
 3: $P(\alpha)=P(\beta)=0$
 4: $P(\alpha)\ne 0$ かつ $P(\beta)\ne 0$

 $\dbox{ナ}$ の解答群

 0: $m\ne 0$
 1: $m\ne 0$ かつ $n=0$
 2: $m\ne 0$ かつ $n\ne 0$
 3: $m=0$
 4: $m=n=0$
 5: $m=0$ かつ $n\ne 0$
 6: $n=0$
 7: $n\ne 0$

 (i), (ii)の考察から、方程式 $S(x)=0$ が異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとき、 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になることと $\dbox{ツ}$ であることは同値である。

解説

(ii)
逆に、 $P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つときに余りが定数になるかを考えます。

$S(x)$ が2次式なので、余り $U(x)=mx+n$ とおくことができます。\[ P(x)=S(x)T(x)+mx+n \]であり、 $x=\alpha,\beta$ を代入すると、これらは $S(x)=0$ の解なので、 $P(\alpha)=m\alpha+n$ と $P(\beta)=m\beta+n$ が成り立ちます。

仮定よりこの左辺同士は等しく、 $\alpha\ne\beta$ より $m=0$ であることがわかります。こうして、余りは $n$ 、つまり、定数であることがわかります。

解答

テト:11 (2点)
ナ:3 (1点、ただし、テ・トが両方正解の場合のみ)

解答編 つづき

問題

(3) $p$ を定数とし、 $P(x)=x^{10}-2x^9-px^2-5x$, $S(x)=x^2-x-2$ の場合を考える。 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になるとき、 $p=\myBox{ニヌ}$ となり、その余りは $\myBox{ネノ}$ となる。

解説

(3)
ここまでの内容を踏まえて考えます。

$S(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ なので、 $S(x)=0$ の解は $x=2,-1$ です。

$P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になるときとは、($S(x)$ が2次式で $S(x)=0$ が異なる2つの解をもつことから) $P(2)=P(-1)$ のときです。

$P(x)=x^{10}-2x^9-px^2-5x$ なので
\begin{eqnarray} P(2) &=& 2^{10}-2\cdot 2^9-p\cdot 2^2-5\cdot 2 \\[5pt] &=& -4p-10 \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} P(-1) &=& (-1)^{10}-2\cdot (-1)^9-p\cdot (-1)^2-5\cdot (-1) \\[5pt] &=& 1+2-p+5 \\[5pt] &=& -p+8 \\[5pt] \end{eqnarray}です。この2つが等しいので \begin{eqnarray} -4p-10 &=& -p+8 \\[5pt] -3p &=& 18 \\[5pt] p &=& -6 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

余りは $P(-1)$ と等しいので、 $-p+8=14$ となります。

解答

ニヌ:-6 (2点)
ネノ:14 (1点)

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