共通テスト 数学II・数学B 2024年度 第1問 [2] 解説
【必答問題】
問題編
問題
$S(x)$ を $x$ の2次式とする。 $x$ の整式 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商を $T(x)$、余りを $U(x)$ とする。ただし、 $S(x)$ と $P(x)$ の係数は実数であるとする。
(1) $P(x)=2x^3+7x^2+10x+5$, $S(x)=x^2+4x+7$ の場合を考える。
方程式 $S(x)=0$ の解は $x=\myBox{コサ}\pm\sqrt{\myBox{シ}}i$ である。
また、 $T(x)=\myBox{ス}x-\myBox{セ}$, $U(x)=\myBox{ソタ}$ である。
(2) 方程式 $S(x)=0$ は異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとする。このとき
$P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数 $k$ を用いて $U(x)=k$ とおける。このとき、 $\dBox{チ}$ 。したがって、余りが定数になるとき、 $\dBox{ツ}$ が成り立つ。
$\dbox{チ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
0: $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる
1: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる
2: $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる
3: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる
$\dbox{ツ}$ の解答群
0: $T(\alpha)=T(\beta)$
1: $P(\alpha)=P(\beta)$
2: $T(\alpha)\ne T(\beta)$
3: $P(\alpha)\ne P(\beta)$(ii) 逆に $\dbox{ツ}$ が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
$S(x)$ が2次式であるから、$m,n$ を定数として $U(x)=mx+n$ とおける。 $P(x)$ を $S(x),T(x),m,n$ を用いて表すと、 $P(x)=\dBox{テ}$ となる。この等式の $x$ に $\alpha,\beta$ をそれぞれ代入すると $\dBox{ト}$ となるので、 $\dbox{ツ}$ と $\alpha\ne\beta$ より $\dBox{ナ}$ となる。以上から余りが定数になることがわかる。
$\dbox{テ}$ の解答群
0: $(mx+n)S(x)T(x)$
1: $S(x)T(x)+mx+n$
2: $(mx+n)S(x)+T(x)$
3: $(mx+n)T(x)+S(x)$$\dbox{ト}$ の解答群
0: $P(\alpha)=T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=T(\beta)$
1: $P(\alpha)=m\alpha+n$ かつ $P(\beta)=m\beta+n$
2: $P(\alpha)=(m\alpha+n)T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=(m\beta+n)T(\beta)$
3: $P(\alpha)=P(\beta)=0$
4: $P(\alpha)\ne 0$ かつ $P(\beta)\ne 0$$\dbox{ナ}$ の解答群
0: $m\ne 0$
1: $m\ne 0$ かつ $n=0$
2: $m\ne 0$ かつ $n\ne 0$
3: $m=0$
4: $m=n=0$
5: $m=0$ かつ $n\ne 0$
6: $n=0$
7: $n\ne 0$(i), (ii)の考察から、方程式 $S(x)=0$ が異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとき、 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になることと $\dbox{ツ}$ であることは同値である。
(3) $p$ を定数とし、 $P(x)=x^{10}-2x^9-px^2-5x$, $S(x)=x^2-x-2$ の場合を考える。 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になるとき、 $p=\myBox{ニヌ}$ となり、その余りは $\myBox{ネノ}$ となる。
考え方
複素数も少しだけ出てきますが、メインは、式を式で割った余りの問題です。抽象的な問題に慣れていないと少し難しいかもしれません。考えづらい場合は、(1)の計算結果などを利用しながら考えてみるといいでしょう。
(3)は(2)を使った応用問題です。(2)では、直接割り算をしなくても求められる条件を求めていました。これを利用すれば、実際に、割り算をすることなく、余りを求めることができます。
【必答問題】
解答編
問題
$S(x)$ を $x$ の2次式とする。 $x$ の整式 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商を $T(x)$、余りを $U(x)$ とする。ただし、 $S(x)$ と $P(x)$ の係数は実数であるとする。
(1) $P(x)=2x^3+7x^2+10x+5$, $S(x)=x^2+4x+7$ の場合を考える。
方程式 $S(x)=0$ の解は $x=\myBox{コサ}\pm\sqrt{\myBox{シ}}i$ である。
また、 $T(x)=\myBox{ス}x-\myBox{セ}$, $U(x)=\myBox{ソタ}$ である。
解説
(1)
$x^2+4x+7=0$ を解くと、
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2} \\[5pt]
&=& -2\pm\sqrt{4-7} \\[5pt]
&=& -2\pm\sqrt{3} i \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
また
\begin{eqnarray}
& &
2x^3+7x^2+10x+5 \\[5pt]
&=&
2x(x^2+4x+7)-x^2-4x+5 \\[5pt]
&=&
(2x-1)(x^2+4x+7)+12 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、商 $T(x)$ は $2x-1$ で、余り $U(x)$ は $12$ となります。
解答
コサシ：-23 (2点)
スセ：21 (2点)
ソタ：12 (1点)
解答編 つづき
問題
(2) 方程式 $S(x)=0$ は異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとする。このとき
$P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になる
ことと同値な条件を考える。(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数 $k$ を用いて $U(x)=k$ とおける。このとき、 $\dBox{チ}$ 。したがって、余りが定数になるとき、 $\dBox{ツ}$ が成り立つ。
$\dbox{チ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
0: $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる
1: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が成り立つことから、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ となることが導かれる
2: $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(x)=S(x)T(x)+k$ となることが導かれる。また、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる
3: $P(x)=S(x)T(x)+k$ かつ $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことから、 $P(\alpha)=P(\beta)=k$ となることが導かれる
$\dbox{ツ}$ の解答群
0: $T(\alpha)=T(\beta)$
1: $P(\alpha)=P(\beta)$
2: $T(\alpha)\ne T(\beta)$
3: $P(\alpha)\ne P(\beta)$
解説
(2)
(i)
$S(x)$ は2次式、 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商が $T(x)$ で余りが $U(x)$ です。 $S(x)=0$ が異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつときに、「 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になること」と同値な条件を考えます。
余りが定数となるときに、それぞれの選択肢について考えます。
選択肢 0 と 1 は、どちらも $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が導かれる、という結論になっていますが、これが導けるのは $\alpha,\beta$ が $S(x)=0$ の解だからです。なので、理由と結論があっていないのでどちらも不適です。
選択肢 2 は、 $S(\alpha)=S(\beta)=0$ から $P(x)=S(x)T(x)+k$ が導ける、となっていますが、これが導けるのは、 $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの余りが $k$ だからです。理由と結論があってないので不適です。
選択肢 3 は、余りに関する条件から $P(x)=S(x)T(x)+k$ が成り立つことがわかり、解の条件から $S(\alpha)=S(\beta)=0$ が成り立つことがわかり、前者に $x=\alpha$ や $x=\beta$ を代入すれば $P(\alpha)=P(\beta)=k$ が導けるので、これが適当だとわかります。
これにより、 $P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つことがわかります。
解答
チ：3 (3点)
ツ：1 (1点)
解答編 つづき
問題
(ii) 逆に $\dbox{ツ}$ が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
$S(x)$ が2次式であるから、$m,n$ を定数として $U(x)=mx+n$ とおける。 $P(x)$ を $S(x),T(x),m,n$ を用いて表すと、 $P(x)=\dBox{テ}$ となる。この等式の $x$ に $\alpha,\beta$ をそれぞれ代入すると $\dBox{ト}$ となるので、 $\dbox{ツ}$ と $\alpha\ne\beta$ より $\dBox{ナ}$ となる。以上から余りが定数になることがわかる。
$\dbox{テ}$ の解答群
0: $(mx+n)S(x)T(x)$
1: $S(x)T(x)+mx+n$
2: $(mx+n)S(x)+T(x)$
3: $(mx+n)T(x)+S(x)$$\dbox{ト}$ の解答群
0: $P(\alpha)=T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=T(\beta)$
1: $P(\alpha)=m\alpha+n$ かつ $P(\beta)=m\beta+n$
2: $P(\alpha)=(m\alpha+n)T(\alpha)$ かつ $P(\beta)=(m\beta+n)T(\beta)$
3: $P(\alpha)=P(\beta)=0$
4: $P(\alpha)\ne 0$ かつ $P(\beta)\ne 0$$\dbox{ナ}$ の解答群
0: $m\ne 0$
1: $m\ne 0$ かつ $n=0$
2: $m\ne 0$ かつ $n\ne 0$
3: $m=0$
4: $m=n=0$
5: $m=0$ かつ $n\ne 0$
6: $n=0$
7: $n\ne 0$(i), (ii)の考察から、方程式 $S(x)=0$ が異なる二つの解 $\alpha,\beta$ をもつとき、 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になることと $\dbox{ツ}$ であることは同値である。
解説
(ii)
逆に、 $P(\alpha)=P(\beta)$ が成り立つときに余りが定数になるかを考えます。
$S(x)$ が2次式なので、余り $U(x)=mx+n$ とおくことができます。\[ P(x)=S(x)T(x)+mx+n \]であり、 $x=\alpha,\beta$ を代入すると、これらは $S(x)=0$ の解なので、 $P(\alpha)=m\alpha+n$ と $P(\beta)=m\beta+n$ が成り立ちます。
仮定よりこの左辺同士は等しく、 $\alpha\ne\beta$ より $m=0$ であることがわかります。こうして、余りは $n$ 、つまり、定数であることがわかります。
解答
テト：11 (2点)
ナ：3 (1点、ただし、テ・トが両方正解の場合のみ)
解答編 つづき
問題
(3) $p$ を定数とし、 $P(x)=x^{10}-2x^9-px^2-5x$, $S(x)=x^2-x-2$ の場合を考える。 $P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になるとき、 $p=\myBox{ニヌ}$ となり、その余りは $\myBox{ネノ}$ となる。
解説
(3)
ここまでの内容を踏まえて考えます。
$S(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ なので、 $S(x)=0$ の解は $x=2,-1$ です。
$P(x)$ を $S(x)$ で割った余りが定数になるときとは、（$S(x)$ が2次式で $S(x)=0$ が異なる2つの解をもつことから） $P(2)=P(-1)$ のときです。
$P(x)=x^{10}-2x^9-px^2-5x$ なので
\begin{eqnarray}
P(2) &=& 2^{10}-2\cdot 2^9-p\cdot 2^2-5\cdot 2 \\[5pt]
&=& -4p-10 \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
P(-1) &=& (-1)^{10}-2\cdot (-1)^9-p\cdot (-1)^2-5\cdot (-1) \\[5pt]
&=& 1+2-p+5 \\[5pt]
&=& -p+8 \\[5pt]
\end{eqnarray}です。この2つが等しいので
\begin{eqnarray}
-4p-10 &=& -p+8 \\[5pt]
-3p &=& 18 \\[5pt]
p &=& -6 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
余りは $P(-1)$ と等しいので、 $-p+8=14$ となります。
解答
ニヌ：-6 (2点)
ネノ：14 (1点)
