共通テスト 数学I・数学A 2025年度 第2問 [1] 解説
【必答問題】
（問題文は後日更新します）
解説
(1)
$C_1$ は $(0,1)$ を通るので、 $c=1$ です。
また、 $\left(-\frac{5}{2},0\right)$ と $\left(\frac{1}{2},0\right)$ を通ることから、 $C_1$ に対応する二次関数は
\begin{eqnarray}
y
&=&
a\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) \\[5pt]
&=&
a\left(x^2+2x-\frac{5}{4}\right)
\end{eqnarray}と書けます。定数項は $1$ なので、
\begin{eqnarray}
-\frac{5}{4}a &=& 1 \\[5pt]
a &=& -\frac{4}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}となることから
\begin{eqnarray}
y
&=&
-\frac{4}{5}\left(x^2+2x-\frac{5}{4}\right) \\[5pt]
&=&
-\frac{4}{5}x^2-\frac{8}{5}x+1
\end{eqnarray}となります。
解答
ア：1
イウエオ：4585
解説
$C_1$ の式を変形すると
\begin{eqnarray}
y
&=&
-\frac{4}{5}\left(x^2+2x-\frac{5}{4}\right) \\[5pt]
&=&
-\frac{4}{5}\left\{(x+1)^2-1-\frac{5}{4}\right\} \\[5pt]
&=&
-\frac{4}{5}\left\{(x+1)^2-\frac{9}{4}\right\} \\[5pt]
&=&
-\frac{4}{5}(x+1)^2+\frac{9}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}だから、頂点は $\left(-1,\frac{9}{5}\right)$ です。なので、頂点の $y$ 座標は $\dfrac{9}{5}$ だとわかります。
仮定2より、 $C_2$ は $\left(\dfrac{3}{2},0\right)$ を通り、対称性から、 $\left(-\dfrac{3}{2},0\right)$ も通ることがわかるので、 $C_2$ に対応する二次関数は
\begin{eqnarray}
y&=&
a\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right) \\[5pt]
&=&
a\left(x^2-\frac{9}{4}\right) \\[5pt]
\end{eqnarray}と表せます。これが $\left(-1,\frac{9}{5}\right)$ を通るので、
\begin{eqnarray}
\frac{9}{5} &=& a\left(1-\frac{9}{4}\right) \\[5pt]
\frac{9}{5} &=& -\frac{5}{4}a \\[5pt]
a &=& -\frac{36}{25} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められるから、 $C_2$ に対応する二次関数は
\begin{eqnarray}
y
&=&
-\frac{36}{25}\left(x^2-\frac{9}{4}\right) \\[5pt]
&=&
-\frac{36}{25}x^2+\frac{81}{25} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
頂点の $y$ 座標は $\dfrac{81}{25}$ です。
頂点を比較すると、大きな噴水の高さを小さな噴水の高さで割って
\begin{eqnarray}
\frac{81}{25} \div \frac{9}{5}=\frac{9}{5}=1.8
\end{eqnarray}なので、選択肢の中では「およそ2倍」が一番近いです。
解答
カキ：95
クケコサ：8125
シ：0
解説
(2)
対称性より、 $C_2'$ に対応する二次関数は\[ y=ax^2+c \]と書けます。頂点の $y$ 座標を $5$ にすることから、 $c=5$ となります。
また、 $C_1$ の頂点 $\left(-1,\frac{9}{5}\right)$ を通るので
\begin{eqnarray}
\frac{9}{5} &=& a\cdot(-1)^2+5 \\[5pt]
a &=& -\frac{16}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。よって
\begin{eqnarray}
y
&=&
-\frac{16}{5}x^2+5 \\[5pt]
&=&
-\frac{16}{5}\left(x^2+\frac{25}{16}\right) \\[5pt]
&=&
-\frac{16}{5}\left(x+\frac{5}{4}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right) \\[5pt]
\end{eqnarray}が $C_2'$ に対応する二次関数です。
$\mathrm{P_2}$ の $x$ 座標は $\dfrac{3}{2}$ で、 $\mathrm{P_2'}$ の $x$ 座標は $\dfrac{5}{4}$ なので、 $\dfrac{5}{4}\lt\dfrac{3}{2}$ と\[ \dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{4} \]だから、 $\mathrm{P_2'}$ は $\mathrm{P_2}$ より $\dfrac{1}{4}$ だけ $\mathrm{P_1}$ の方にあることがわかります。
解答
スセ：14
ソ：0
