京都大学 理学部特色入試 2018年度 第2問 解説

解答編

問題

 実数 a, b が $0\leqq a \lt 1$ および $0\leqq b\lt 1$ を満たしている。このとき、次の条件 (C) を満たす2つの整数 m, n が存在することを示せ。

 (C) xy 平面において、点 $(m+a,n+b)$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{100}$ の円の内部が、 $y=x^2$ のグラフと共有点を持つ。

解答

$m=50$ とする。

$m$ と $m+1$ の間を $\sqrt{m^2+j}$ $(j=1,2,\cdots, 2m)$ で区切る。

このとき、この各区間(左端を含み、右端を含まない)のどこか1つに、 $m+a$ が含まれる。つまり、 a に対して、次を満たす整数 k $(0\leqq k \leqq 2m)$ がただ1つ存在する。\[ \sqrt{m^2+k} \leqq m+a \lt \sqrt{m^2+k+1} \]

また、 $n=m^2+k$ とすると、\[ m^2+k \leqq n+b \lt m^2+k+1 \]が成り立つ。

今、 $y=x^2$ 上の点 $(\sqrt{n+b},n+b)$ と点 $(m+a,n+b)$ との距離を考えると
\begin{eqnarray}
& &
|\sqrt{n+b}-(m+a)| \\[5pt] &\lt&
\sqrt{m^2+k+1}-\sqrt{m^2+k} \\[5pt] &=&
\frac{1}{\sqrt{m^2+k+1}+\sqrt{m^2+k}} \\[5pt] &\lt&
\frac{1}{\sqrt{m^2}+\sqrt{m^2}} \\[5pt] &=&
\frac{1}{2m} \\[5pt] &=&
\frac{1}{100} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

よって、上のように $m,n$ を選べば、 $y=x^2$ 上の点 $(\sqrt{n+b},n+b)$ と点 $(m+a,n+b)$ との距離を $\dfrac{1}{100}$ 未満にできるので、(C)を満たす $m,n$ が存在することがわかる。

(解答終)