京都大学 文系 2023年度 第3問 解説
問題編
問題
(1) $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。
(2) 半径 $1$ の円に内接する正五角形の一辺の長さが $1.15$ より大きいか否かを理由をつけて判定せよ。
考え方
(1)は公式として覚えていると思いますが、導出を行いましょう。
(2)は、正五角形の辺の長さを三角比を用いて考える問題で、よくある内容です。一辺の長さを具体的な式で表して考えましょう。 $\sqrt{5}$ のだいたいの値を使って大小の目星をつけて示しましょう。
解答編
問題
(1) $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。
解答
加法定理より
\begin{eqnarray}
\cos 2\theta
&=&
\cos \theta\cos \theta-\sin \theta\sin \theta \\[5pt]
&=&
\cos^2 \theta-(1-\cos^2 \theta) \\[5pt]
&=&
2\cos^2 \theta-1 \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta
&=&
\cos 2\theta\cos \theta-\sin 2\theta\sin \theta \\[5pt]
&=&
(2\cos^2 \theta-1)\cos\theta-2\sin\theta \cos\theta \sin\theta \\[5pt]
&=&
2\cos^3 \theta-\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^2\theta) \\[5pt]
&=&
4\cos^3 \theta-3\cos\theta
\end{eqnarray}である。まとめると
\begin{eqnarray}
\cos2\theta &=& 2\cos^2 \theta-1 \\[5pt]
\cos3\theta &=& 4\cos^3 \theta-3\cos\theta
\end{eqnarray}である。（答）
解答編 つづき
問題
(2) 半径 $1$ の円に内接する正五角形の一辺の長さが $1.15$ より大きいか否かを理由をつけて判定せよ。
解答
半径 $1$ の円 $\mathrm{O}$ に、正五角形 $\mathrm{ABCDE}$ が内接しているとする。このとき、三角形 $\mathrm{OAB}$ は、 $72^{\circ}, 54^{\circ}, 54^{\circ}$ の二等辺三角形である。
$\theta=72^{\circ}$ とすると、 $2\theta+3\theta=360^{\circ}$ なので、 $\cos3\theta=\cos2\theta$ が成り立つ。 $c=\cos\theta$ とすると、(1)より
\begin{eqnarray}
4c^3-3c &=& 2c^2-1 \\[5pt]
4c^3 -2c^2 -3c+1 &=& 0 \\[5pt]
(c-1)(4c^2+2c-1) &=& 0 \\[5pt]
c &=& 1,\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4} \\[5pt]
\end{eqnarray}となるが、 $0\lt c \lt 1$ なので、\[ \cos 72^{\circ}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]と求められる。
余弦定理より
\begin{eqnarray}
\mathrm{AB}^2
&=&
1+1-2\cos 72^{\circ} \\[5pt]
&=&
2-\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\[5pt]
&=&
\frac{5-\sqrt{5}}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、
\begin{eqnarray}
& &
\mathrm{AB} \gt 1.15 \\[5pt]
&\iff &
\mathrm{AB}^2 \gt 1.15^2 \\[5pt]
&\iff &
\frac{5-\sqrt{5}}{2} \gt 1.15^2 \\[5pt]
&\iff &
10-2\sqrt{5} \gt 2.3^2=5.29 \\[5pt]
&\iff &
10-5.29 \gt 2\sqrt{5} \\[5pt]
&\iff &
4.71^2 \gt 20 \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、 $4.71^2\gt 4.5^2=20.25$ より $4.71^2 \gt 20$ が成り立つから、 $\mathrm{AB} \gt 1.15$ が成り立つ。よって、一辺の長さは $1.15$ より大きい。（答）
