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京都大学 文系 2023年度 第1問 解説

問題編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $n$ を自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げるとき、出た目の積が $5$ で割り切れる確率を求めよ。

問2 次の式の分母を有理化し、分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ。\[ \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5} \]

考え方

問1は、確率の基本的な問題です。

問2は、有理化をするだけの問題ですが、典型的なやり方が通じず、なかなかてこずります。やり方はいろいろあるので、試行錯誤しましょう。

解答編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $n$ を自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げるとき、出た目の積が $5$ で割り切れる確率を求めよ。

解答

出た目の積が $5$ で割り切れない確率は、すべての目が $5$ 以外のときであるので、こうなる確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ である。

よって、出た目の積が $5$ で割り切れる確率は、$1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ …(答)

解答編 つづき

問題

問2 次の式の分母を有理化し、分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ。\[ \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5} \]

解答

$a=\sqrt[3]{3}$ とすると、 $a^3=3$ である。よって
\begin{eqnarray} & & 2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5 \\[5pt] &=& 2a^2+a+(2+3) \\[5pt] &=& a^3+2a^2+a+2 \\[5pt] &=& a^2(a+2)+a+2 \\[5pt] &=& (a^2+1)(a+2) \\[5pt] \end{eqnarray}なので \begin{eqnarray} & & \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5} \\[5pt] &=& \frac{55}{(a^2+1)(a+2)} \\[5pt] &=& \frac{55(a^4-a^2+1)(a^2-2a+4)}{(a^2+1)(a^4-a^2+1)(a+2)(a^2-2a+4)} \\[5pt] &=& \frac{55(3a-a^2+1)(a^2-2a+4)}{(a^6+1)(a^3+8)} \\[5pt] &=& \frac{55(3a-a^2+1)(a^2-2a+4)}{10\cdot 11} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}(-a^2+3a+1)(a^2-2a+4) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。 $(-a^2+3a+1)(a^2-2a+4)$ を展開すると \begin{eqnarray} & -a^4 & +2a^3 & -4a^2 & & \\ & & +3a^3 & -6a^2 & +12a & \\ & & & + a^2 & -2a & +4 \\ &=-a^4 & +5a^3 & -9a^2 & +10a & +4 \\ &=-3a & +15 & -9a^2 & +10a & +4 \\ &=-9a^2 & +7a & +19 & & \\ \end{eqnarray}となるので \begin{eqnarray} & & 2\sqrt[3]{9}+2\sqrt[3]{3}+5 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}(-a^2+3a+1)(a^2-2a+4) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}(-9a^2 +7a +19) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}(-9\sqrt[3]{9} +7\sqrt[3]{3} +19) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。(答)

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