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京都大学 文系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
nを4以上の自然数とする。数$2,12,1331$がすべてn進法で表記されているとして、\[2^{12}=1331\]が成り立っている。このときnはいくつか。十進法で答えよ。

【考え方】
不思議な出題のされ方ですが、n進法で書かれたものを十進法に書き直せば、ただの整数問題です。特に、右辺はきれいに因数分解できるので、なんとなくうまく行けそうな気がします。

適当に代入していけば答えは出るものの、問題は答えが「1つだけ」であることをどうやって示すか。指数関数の微分が使えたら一発なのですが、文系だと使えないのでめんどうな議論が必要になってきます。条件を使ってnの範囲を狭めていきつつ、nが大きい場合は指数関数の方が大きくなってしまうことを示していきます。


解答編

【問題】
nを4以上の自然数とする。数$2,12,1331$がすべてn進法で表記されているとして、\[2^{12}=1331\]が成り立っている。このときnはいくつか。十進法で答えよ。

【解答】
n進法で書かれた$2,12,1331$を十進法で書き直すと、それぞれ$2$,$n+2$,$n^3+3n^2+3n+1$となる。よって、十進法で書き直すと、条件式は次のようになる。
\begin{eqnarray} 2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1 \end{eqnarray}

ここで、右辺は$(n+1)^3$なので、次のように変形できる。
\begin{eqnarray} 2^{n+2}&=&(n+1)^3 \\ 2^{\frac{n+2}{3} }&=&n+1 \end{eqnarray} これから、nが奇数であること、3で割った余りが1であることがわかるので、ある整数mを用いて、$n=6m+1$と書けることがわかる。これを代入すると
\begin{eqnarray} 2^{\frac{6m+1+2}{3} }&=&6m+1+1 \\[5pt] 2^{2m+1}&=&6m+2 \\ 2^{2m}&=&3m+1 \\ 4^m-1&=&3m \end{eqnarray} さらに、左辺は次のように変形できる。
\begin{eqnarray} (4-1)(4^{m-1}+4^{m-2}+\cdots+4^0)&=&3m \\ 4^{m-1}+4^{m-2}+\cdots+4^0&=&m \quad \cdots (1) \end{eqnarray}

$m=1$が(1)を満たすことは明らか。

また、$k\geqq 1$のとき、$4^k\gt 1$なので、$m\geqq 2$とすると
\begin{eqnarray} 4^{m-1}+4^{m-2}+\cdots+4^0 \gt 1 \times (m-1) + 4^0=m \end{eqnarray} となり、(1)を満たすことはない。

以上から、与えられた式を満たすのは、$m=1$のときのみ。よって、$n=6m+1=7$。

【解答終】

【解説】
適当に代入すれば、$n=7$は得られます。しかし、$2^{n+2}=(n+1)^3$を満たすnは一つだけ、というのを示すのが大変です。理系であれば「指数関数の方が早く大きくなる」ことを微分を使って簡単に示すことができますが、文系の場合は上のような議論が必要となります。

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