京都大学 文系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
nを4以上の自然数とする。数$2,12,1331$がすべてn進法で表記されているとして、\[2^{12}=1331\]が成り立っている。このときnはいくつか。十進法で答えよ。

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教科書や従来の参考書では、いろいろ書かれているわりに、読者が一番知りたい肝心なことは省かれている傾向があります。本書は、ここを重点的に丁寧に解説しました。ですから、しっかり読んでもらえばスムーズに理解してもらえるはずです。本書は気楽に読めて即効的な力がつくことを謳うものではありません。しっかり読む人に、数学的な心と考えること理解することの喜びと力を伝えるものです。
著者:長岡 亮介
出版社:旺文社
発売日:2012-09-23
ページ数:752 ページ
値段:¥1,870
(2020年09月 時点の情報です)

【考え方】
不思議な出題のされ方ですが、n進法で書かれたものを十進法に書き直せば、ただの整数問題です。特に、右辺はきれいに因数分解できるので、なんとなくうまく行けそうな気がします。

適当に代入していけば答えは出るものの、問題は答えが「1つだけ」であることをどうやって示すか。指数関数の微分が使えたら一発なのですが、文系だと使えないのでめんどうな議論が必要になってきます。条件を使ってnの範囲を狭めていきつつ、nが大きい場合は指数関数の方が大きくなってしまうことを示していきます。

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