京都大学 文系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
nを4以上の自然数とする。数$2,12,1331$がすべてn進法で表記されているとして、\[2^{12}=1331\]が成り立っている。このときnはいくつか。十進法で答えよ。

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河合塾数学科の考える「思考力・判断力・表現力」をまとめ、これに基づいて過去の入試問題を分析し、その中から思考力を養うために経験しておきたい問題を収集し解答・解説を収録。また、思考調査の問題を参考にして「共通テスト型問題」を作成。
著者: 河合塾数学科
出版社: 河合出版
発売日: 2018/06/01
125ページ

【考え方】
不思議な出題のされ方ですが、n進法で書かれたものを十進法に書き直せば、ただの整数問題です。特に、右辺はきれいに因数分解できるので、なんとなくうまく行けそうな気がします。

適当に代入していけば答えは出るものの、問題は答えが「1つだけ」であることをどうやって示すか。指数関数の微分が使えたら一発なのですが、文系だと使えないのでめんどうな議論が必要になってきます。条件を使ってnの範囲を狭めていきつつ、nが大きい場合は指数関数の方が大きくなってしまうことを示していきます。