京都大学 文系 2016年度 第1問 解説

問題編

【問題】
xy平面内の領域\[x^2+y^2 \leqq 2, \quad |x|\leqq 1\]で、曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ。

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(2021年09月 時点の情報です)

【考え方】
見た目はめんどそうな問題ですが、関数の形を調べていくとなかなかいい形になっています。

円の形はすぐにわかるので、まずは三次関数の形を調べるところから着手します。円とどう交わっているかによって話が変わってくるからです。微分して増減表を書くと、円とは2点でしか交わらないことがわかります。また、その2点もきれいな値になります。

考える領域は、きれいに2つにわけることができます。片方は積分、片方は図形的に計算します。

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