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京都大学文系 2016年度第1問解説

🕒 2016/02/27 🔄 2023/05/01

問題編

【問題】
xy平面内の領域\[x^2+y^2 \leqq 2, \quad |x|\leqq 1\]で、曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ。

【考え方】
見た目はめんどそうな問題ですが、関数の形を調べていくとなかなかいい形になっています。

円の形はすぐにわかるので、まずは三次関数の形を調べるところから着手します。円とどう交わっているかによって話が変わってくるからです。微分して増減表を書くと、円とは2点でしか交わらないことがわかります。また、その2点もきれいな値になります。

考える領域は、きれいに2つにわけることができます。片方は積分、片方は図形的に計算します。

解答編

【問題】
xy平面内の領域\[x^2+y^2 \leqq 2, \quad |x|\leqq 1\]で、曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ。

【解答】
$f(x)=x^3+x^2-x$とする。

\begin{eqnarray} f'(x) &=& 3x^2+2x-1 \\ &=& (3x-1)(x+1) \end{eqnarray}なので、$f'(x)=0$のとき$x=-1,\frac{1}{3}$となる。よって増減表は \begin{array}{c|ccccc} x & -1 & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & 1 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 1 & \searrow & -\frac{5}{27} & \nearrow & 1 \end{array}となる。このことから、$-1 \lt x \lt 1$の領域で$|f(x)| \lt 1$となることがわかる。このとき$x^2+y^2=2$のy座標の絶対値は1より大きいので、この領域では$y=f(x)$と$x^2+y^2=2$が交わらないことがわかる。

よって、面積を求める領域は、下の図の色のついた部分となる。

この領域を$y=1$で切り2つに分ける。下側の面積は、
\begin{eqnarray} & & \int_{-1}^ 1 \{ 1 - (x^3+x^2-x) \} dx \\ &=& \int_{-1}^ 1 \{ 1 - x^3 - x^2 + x) \} dx \\ &=& \left[ x-\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^ 1 \\ &=& 2-\frac{2}{3} = \frac{4}{3} \end{eqnarray}となる。

上側の面積は、中心角が90度の扇形から三角形をひいて求めると、
\begin{eqnarray} \sqrt{2}\sqrt{2}\pi\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{2} &=& \frac{\pi}{2}-1 \end{eqnarray}となる。

以上から、求める面積は、\[ \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2}-1 = \frac{\pi}{2}+\frac{1}{3} \]となる。

【解答終】

【解説】
$-1\lt x \lt 1$のとき、下の図のように、三次関数が円の下側に行ってないかどうかをチェックすることは必要です。