センター試験数学I・数学A 2014年度第4問解説

🕒 2016/11/25 🔄 2023/05/01

問題編

問題

　下の図は、ある町の街路図の一部である。

　ある人が、交差点 A から出発し、次の規則に従って、交差点から隣の交差点への移動を繰り返す。

街路上のみを移動する。

出発前にサイコロを投げ、出た目に応じて上図の1～6の矢印の方向の交差点に移動する。

交差点に達したら、再びサイコロを投げ、出た目に応じて図の1～6の矢印の方向の隣の交差点に移動する。（一度通った道を引き返すこともできる。）

交差点に達するたびに、3. と同じことを繰り返す。

(1) 交差点 A を出発し、4回移動して交差点 B にいる移動の仕方について考える。この場合、3の矢印の方向の移動と4の矢印の方向の移動をそれぞれ2回ずつ行うので、このような移動の仕方は[ア]通りある。

(2) 交差点 A を出発し、3回移動して交差点 C にいる移動の仕方は[イ]通りある。

(3) 交差点 A を出発し、6回移動することを考える。このとき、交差点 A を出発し、3回の移動が終わった時点で交差点 C にいて、次に3回移動して交差点 D にいる移動の仕方は[ウエ]通りあり、その確率は、$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキクケ]}$である。

(4) 交差点 A を出発し、6回移動して交差点 D にいる移動の仕方について考える。

1の矢印の向きの移動を含むものは[コ]通りある。

2の矢印の向きの移動を含むものは[サシ]通りある。

6の矢印の向きの移動を含むものも[サシ]通りある。

上記3つ以外の場合、4の矢印の向きの移動は[ス]回だけに決まるので、移動の仕方は[セソ]通りある。

よって、交差点 A を出発し、6回移動して交差点 D にいる移動の仕方は[タチツ]通りある。

考え方

真下に移動する方法に、「右下＋左下」の場合などが含まれるので、話がややこしくなっています。ただ、右下に移動する回数と左下に移動する回数が同じにならないといけない、ということに気づけば、どっちの向きに何回動けばいいかがわかるでしょう。

解答編

問題

　下の図は、ある町の街路図の一部である。

　ある人が、交差点 A から出発し、次の規則に従って、交差点から隣の交差点への移動を繰り返す。

街路上のみを移動する。

出発前にサイコロを投げ、出た目に応じて上図の1～6の矢印の方向の交差点に移動する。

交差点に達したら、再びサイコロを投げ、出た目に応じて図の1～6の矢印の方向の隣の交差点に移動する。（一度通った道を引き返すこともできる。）

交差点に達するたびに、3. と同じことを繰り返す。

(1) 交差点 A を出発し、4回移動して交差点 B にいる移動の仕方について考える。この場合、3の矢印の方向の移動と4の矢印の方向の移動をそれぞれ2回ずつ行うので、このような移動の仕方は[ア]通りある。

解説

B に移動するには、4回移動するうち、2回が下、2回が左下の場合しかありません。4回の移動の中から、下に行く2回を選ぶ方法を考えればいいので、求める場合の数は\[ {}_4 \mathrm{ C }_2=6 \]から、6通りとなります。

解答

ア：6

解答編つづき

問題

(2) 交差点 A を出発し、3回移動して交差点 C にいる移動の仕方は[イ]通りある。

解説

上、左上、右上に1回でも行ってしまうと、3回移動して C にたどり着くことはできません。なので、下、左下、右下の移動だけを考えればいいことがわかります。

左下と右下の移動回数は同じになるので、下に移動する回数は奇数回です。なので、下には1回だけ移動することがわかります。よって、左下・右下にも、それぞれ1回移動することがわかります。

以上から、3回中、1回下、1回左下、1回右下に移動すればよく、移動の仕方は\[ 3\times 2\times 1=6 \]通りとなります。

解答

イ：6

解答編つづき

問題

(3) 交差点 A を出発し、6回移動することを考える。このとき、交差点 A を出発し、3回の移動が終わった時点で交差点 C にいて、次に3回移動して交差点 D にいる移動の仕方は[ウエ]通りあり、その確率は、$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキクケ]}$である。

解説

(2)で見た通り、3回移動して2つ下にいる移動の仕方は、6通りでした。よって、 C から D へ行く移動の仕方も6通りです。なので、 A から D に行く移動の仕方は、\[ 6\times6=36 \]通りとなります。

サイコロを6回投げたときに、対象の場合の数が36通りとなるので、 D にいる確率は\[ \frac{36}{6^6} = \frac{1}{1296} \]となります。

解答

ウエ：36
オカキク：11296

解答編つづき

問題

(4) 交差点 A を出発し、6回移動して交差点 D にいる移動の仕方について考える。

1の矢印の向きの移動を含むものは[コ]通りある。

2の矢印の向きの移動を含むものは[サシ]通りある。

6の矢印の向きの移動を含むものも[サシ]通りある。

上記3つ以外の場合、4の矢印の向きの移動は[ス]回だけに決まるので、移動の仕方は[セソ]通りある。

よって、交差点 A を出発し、6回移動して交差点 D にいる移動の仕方は[タチツ]通りある。

解説

A から6回移動して D に移動する方法を考えます。

1の方向（上）への移動が入る場合、上向きが1回、下向きが5回という行き方しかありません。6回のうち、下に移動する1回を選ぶ、と考えると、この移動の仕方は\[ {}_6 \mathrm{ C }_1=6 \]通りとなります。

2の方向（左上）への移動が入る場合、左上が1回、右下が1回、下が4回、という行き方しかありません。6回のうち、左上に移動する1回と、右下に移動する1回を選ぶ、と考えると、この移動の仕方は\[ {}_6 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 =30 \]通りとなります。

対称性から、6の方向への移動が入る場合も、同様に30通りとなります。

1・2・6の方向が含まれない場合、つまり、下・右下・左下への移動しかない場合を考えます。右下と左下に移動する回数は同じになるので、右下に2回、左下に2回、下に2回移動する場合しかないことがわかります。よって、この移動の仕方は\[ {}_6 \mathrm{ C }_2 \times {}_4 \mathrm{ C }_2 =15\times6=90 \]通りとなります。

以上より、 A から6回移動して D に移動する方法は、\[ 6+30+30+90=156 \]通りとなります。