センター試験 数学I・数学A 2014年度 第3問 解説

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ は、 $\mathrm{ AB }=4$, $\mathrm{ BC }=2$, $\displaystyle \cos \angle \mathrm{ ABC }=\frac{1}{4}$ を満たすとする。このとき\[ \mathrm{ CA }=[ア],\ \cos\angle \mathrm{ BAC } = \frac{[イ]}{[ウ]}, \ \sin\angle \mathrm{ BAC } = \frac{\sqrt{[エオ]}}{[カ]} \]であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円 O の半径は $\displaystyle \frac{[キ]\sqrt{[クケ]}}{[コサ]}$ である。 $\angle \mathrm{ ABC }$ の二等分線と $\angle \mathrm{ BAC }$ の二等分線の交点を D 、直線 BD と辺 AC の交点を E、直線 BD と円 O との交点で B と異なる交点を F とする。

(1) このとき\[ \mathrm{ AE }=\frac{[シ]}{[ス]}, \ \mathrm{ BE }=\frac{[セ]\sqrt{[ソタ]}}{[チ]}, \ \mathrm{ BD } = \frac{[ツ]\sqrt{[テト]}}{[ナ]} \]となる。

(2) $\triangle \mathrm{ EBC }$ の面積は $\triangle \mathrm{ EAF }$ の面積の $\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$ 倍である。

(3) 角度に注目すると、線分 FA, FC, FD の関係で正しいのは[ネ]であることが分かる。
 [ネ]に当てはまるものを、次の0~5のうちから一つ選べ。
 0: $\mathrm{ FA }\lt\mathrm{ FC }=\mathrm{ FD }$
 1: $\mathrm{ FA }=\mathrm{ FC }\lt\mathrm{ FD }$
 2: $\mathrm{ FC }\lt\mathrm{ FA }=\mathrm{ FD }$
 3: $\mathrm{ FD }\lt\mathrm{ FC }\lt\mathrm{ FA }$
 4: $\mathrm{ FA }=\mathrm{ FC }=\mathrm{ FD }$
 5: $\mathrm{ FD }\lt\mathrm{ FC }=\mathrm{ FA }$

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)までは、余弦定理・正弦定理を繰り返し使って、考えていきます。角の二等分線の性質も使います。注目する三角形はコロコロ変わるので、視点を変えて考えましょう。

(2)は、相似を使います。(3)はヒントにある通り、角度に注目します。等しい角度がたくさん出てくるので、それを利用して考えます。

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