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センター試験 数学I・数学A 2014年度 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{3} }{1+\sqrt{2} },\ b=\frac{1-\sqrt{3} }{1-\sqrt{2} }$ とおく。

(1) $ab=[ア]$
 $a+b=[イ]([ウエ]+\sqrt{[オ]})$
 $a^2+b^2=[カ]([キ]-\sqrt{[ク]})$
である。

(2) $ab=[ア]$ と $a^2+b^2+4(a+b)=[ケコ]$ から、 a は\[ a^4+[サ]a^3-[シス]a^2+[セ]a+[ソ]=0 \]を満たすことがわかる。

考え方

(1)は、有理化をするのかな、と思いきや、別に有理化をする必要はありません。直接計算したほうが早いです。 $ab$ と $a+b$ を求めて、 $a^2+b^2$ を求める流れは、よくあるパターンですね。

(2)は、 $ab$ の値をどう使うかが少しわかりにくいかもしれません。ただ、 b が消えていることに気づけば、使い方はひらめくでしょう。


解答編

問題

 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{3} }{1+\sqrt{2} },\ b=\frac{1-\sqrt{3} }{1-\sqrt{2} }$ とおく。

(1) $ab=[ア]$
 $a+b=[イ]([ウエ]+\sqrt{[オ]})$
 $a^2+b^2=[カ]([キ]-\sqrt{[ク]})$
である。

解説

$ab$ はそのまま計算できます。
\begin{eqnarray} ab &=& \frac{1+\sqrt{3} }{1+\sqrt{2} } \times \frac{1-\sqrt{3} }{1-\sqrt{2} } \\[5pt] &=& \frac{1-3}{1-2} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$a+b$ は次のように通分をして足します。
\begin{eqnarray} a+b &=& \frac{ (1+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}) +(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{2}) }{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} \\[5pt] &=& \frac{ 1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6} +1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6} }{-1} \\[5pt] &=& -(2-2\sqrt{6}) \\[5pt] &=& 2(-1+\sqrt{6}) \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。最後は、解答の箱に合うように式変形しています。

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ なので、
\begin{eqnarray} a^2+b^2 &=& (a+b)^2-2ab \\ &=& \{ 2(-1+\sqrt{6}) \}^2 -2\times 2 \\ &=& 4( 7-2\sqrt{6} ) -4 \\ &=& 24-8\sqrt{6} \\ &=& 8(3-\sqrt{6}) \\ \end{eqnarray}と求められます。

解答

ア:2
イウエオ:2-16
カキク:836

参考

解答編 つづき

問題

(2) $ab=[ア]$ と $a^2+b^2+4(a+b)=[ケコ]$ から、 a は\[ a^4+[サ]a^3-[シス]a^2+[セ]a+[ソ]=0 \]を満たすことがわかる。

解説

ケコは、(1)の結果を使って素直に代入しましょう。
\begin{eqnarray} & & a^2+b^2+4(a+b) \\ &=& 8(3-\sqrt{6}) +4\times 2(-1+\sqrt{6}) \\ &=& 24-8\sqrt{6} -8+8\sqrt{6} \\ &=& 16 \\ \end{eqnarray}となります。

(1)で求めた通り $ab=2$ なので、 $\displaystyle b=\frac{2}{a}$ が成り立ちます。これを今求めた式に入れると、次のようになります。
\begin{eqnarray} a^2+b^2+4(a+b) &=& 16 \\[5pt] a^2+\frac{4}{a^2}+4a+4\times\frac{2}{a} &=& 16 \\[5pt] a^4+4+4a^3+8a &=& 16a^2 \\ a^4+4a^3-16a^2+8a+4 &=& 0 \\ \end{eqnarray}このようにして、 a の満たす式が得られます。

この問題では何をやっているかというと、 a を解に持つような、係数が整数の方程式を求めようとしていた、ということなんですね。ルートが消えるように式変形していくと、最後に、欲しかった式が得られた、という流れです。

解答

ケコ:16
サシスセソ:41684

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